Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 23
Cho các số thực $a,b$ thoả mãn $1<a<b$ và $\log_{a}b+\log_{b}a^{2}=3$. Tính giá trị của biểu thức
$T=\log_{ab}\frac{a^{2}+b}{2}$.
$T=\log_{ab}\frac{a^{2}+b}{2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\log_{a}b+\log_{b}a^{2}=3\Leftrightarrow \frac{1}{\log_{b}a}+2\log_{b}a=3$
$\Leftrightarrow 2\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{b}a=1 \\ \log_{b}a=\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=b\ (L) \\ a=\sqrt{b} \end{array} \right.\Rightarrow b=a^{2}$
Vậy $T=\log_{ab}\frac{a^{2}+b}{2}=\log_{a^{3}}a^{2}=\frac{2}{3}$.
$\Leftrightarrow 2\log_{b}^{2}a-3\log_{b}a+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{b}a=1 \\ \log_{b}a=\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=b\ (L) \\ a=\sqrt{b} \end{array} \right.\Rightarrow b=a^{2}$
Vậy $T=\log_{ab}\frac{a^{2}+b}{2}=\log_{a^{3}}a^{2}=\frac{2}{3}$.