Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit · Bài 21
Cho $\log_{8}|x|+\log_{4}y^{2}=5$ và $\log_{8}|y|+\log_{4}x^{2}=7$. Tính giá trị của biểu thức $P=|x|-|y|$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\log_{8}|x|+\log_{4}y^{2}=5\Leftrightarrow \frac{1}{3}\log_{2}|x|+\frac{1}{2}\log_{2}y^{2}=5$.
$\Leftrightarrow \log_{2}\sqrt[3]{|x|}+\log_{2}|y|=5\Leftrightarrow \sqrt[3]{|x|}\cdot |y|=2^{5}\Leftrightarrow |x|\cdot |y|^{3}=\left( 2^{5} \right)^{3}=2^{15}.$ (1)
Tương tự: $\log_{8}|y|+\log_{4}x^{2}=7\Leftrightarrow |y|\cdot |x|^{3}=2^{21}$. (2)
Lấy (1) nhân (2) được $x^{4}\cdot y^{4}=2^{36}\Leftrightarrow x^{2}\cdot y^{2}=2^{18}$. (3)
Lấy (1) chia (2) được $\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2^{6}}\Leftrightarrow x^{2}=2^{6}\cdot y^{2}$. (4)
Thay (4) vào (3) được $2^{6}\cdot y^{4}=2^{18}\Leftrightarrow y^{4}=2^{12}=\left( 2^{3} \right)^{4}\Leftrightarrow |y|=2^{3}=8$.
Thay $|y|=8$ vào (4) được $x^{2}=2^{6}\cdot 64=\left( 2^{6} \right)^{2}\Leftrightarrow |x|=2^{6}=64$.
Do đó $P=|x|-|y|=56$.
$\Leftrightarrow \log_{2}\sqrt[3]{|x|}+\log_{2}|y|=5\Leftrightarrow \sqrt[3]{|x|}\cdot |y|=2^{5}\Leftrightarrow |x|\cdot |y|^{3}=\left( 2^{5} \right)^{3}=2^{15}.$ (1)
Tương tự: $\log_{8}|y|+\log_{4}x^{2}=7\Leftrightarrow |y|\cdot |x|^{3}=2^{21}$. (2)
Lấy (1) nhân (2) được $x^{4}\cdot y^{4}=2^{36}\Leftrightarrow x^{2}\cdot y^{2}=2^{18}$. (3)
Lấy (1) chia (2) được $\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{1}{2^{6}}\Leftrightarrow x^{2}=2^{6}\cdot y^{2}$. (4)
Thay (4) vào (3) được $2^{6}\cdot y^{4}=2^{18}\Leftrightarrow y^{4}=2^{12}=\left( 2^{3} \right)^{4}\Leftrightarrow |y|=2^{3}=8$.
Thay $|y|=8$ vào (4) được $x^{2}=2^{6}\cdot 64=\left( 2^{6} \right)^{2}\Leftrightarrow |x|=2^{6}=64$.
Do đó $P=|x|-|y|=56$.