Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Biết cạnh $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy và $ SA=a\sqrt[] { 3 } $. Vẽ đường cao $ AH $ của tam giác $ SAB $. Vẽ đường cao $ AK $ của tam giác $ SAD $. Khi đó:

a) đúng. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right ) $. Mặt khác $ AH⊂\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥AH $. b) đúng. Ta có: $ SA⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ SC $ có hình chiếu trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là đường thẳng $ AC $. Suy ra: $ AC=a\sqrt[] { 2 } $, $ \left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\left ( { SC,AC } \right )= \widehat { SCA } $. Vậy $ \tan\left ( { SC,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\tan \widehat { SCA }=\frac { SA } { CA }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { a\sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $. c) sai. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AH⊥SB \\ AH⊥BC \end{array} \right.⇒AH⊥\left ( { SBC } \right )⇒AH⊥SC $ $ \left ( { 1 } \right ) $. Tương tự $ \left \{ \begin{array}{l} AK⊥SD \\ AK⊥DC \end{array} \right.⇒AK⊥\left ( { SDC } \right )⇒AK⊥SC $ $ \left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra: $ SC⊥\left ( { AHK } \right ) $. Mặt phẳng $ \left ( { AHK } \right ) $ cắt $ SC $ tại $ F $ nên $ AF⊥SC $ và $ d\left ( { C,\left ( { AHK } \right ) } \right )=CF=\frac { AC ^ { 2 } } { CS }=\frac { 2a ^ { 2 } } { a\sqrt[] { 5 } }=\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. d) đúng. $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }SA.S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.a\sqrt[] { 3 }.a ^ { 2 } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 3 }a ^ { 3 } $.