Bài tự luận · Bài 14
Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 14
(CD12) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\Delta_1:\dfrac{x+7}{5}=\dfrac{y-1}{-7}=\dfrac{z+2}{-2}$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=-5-3t\\y=-10-4t\\z=3+7t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số);
b) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\y=1-t\\z=3t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $\Delta_2:\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z-1}{-6}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$ và $\Delta_2:\dfrac{x-1}{-6}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z-1}{6}$.
a) $\Delta_1:\dfrac{x+7}{5}=\dfrac{y-1}{-7}=\dfrac{z+2}{-2}$ và $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=-5-3t\\y=-10-4t\\z=3+7t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số);
b) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+5t\\y=1-t\\z=3t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số) và $\Delta_2:\dfrac{x+2}{4}=\dfrac{y-1}{5}=\dfrac{z-1}{-6}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x}{3}=\dfrac{y+5}{2}=\dfrac{z-1}{-3}$ và $\Delta_2:\dfrac{x-1}{-6}=\dfrac{y-3}{-4}=\dfrac{z-1}{6}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-7;1;-2)$ và có $u_1=(5;-7;-2)$ là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-5;-10;3)$ và có $u_2=(-3;-4;7)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac5{-3}\ne\dfrac{-7}{-4}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(2;-11;5)$, $[u_1,u_2]=(-57;-29;-41)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-57)\cdot2+(-29)\cdot(-11)+(-41)\cdot5=0$ nên $u_1,u_2$, $\overrightarrow{M_1M_2}$ đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
b) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-2;1;0)$ và có $u_1=(5;-1;3)$ là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-2;1;1)$ và có $u_2=(4;5;-6)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac54\ne\dfrac{-1}{5}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(0;0;1)$, $[u_1,u_2]=(-9;42;29)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-9)\cdot0+42\cdot0+29\cdot1=29\ne0$ nên $u_1,u_2,\overrightarrow{M_1M_2}$ không đồng phẳng.
Vậy $\Delta_1,\Delta_2$ chéo nhau.
c) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(0;-5;1)$ và có $u_1=(3;2;-3)$ là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(1;3;1)$ và có $u_2=(-6;-4;6)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $-2u_1=u_2$, suy ra $u_1,u_2$ cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(1;8;0)$ và $\dfrac31\ne\dfrac28$ nên $u_1,\overrightarrow{M_1M_2}$ không cùng phương.
Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2$.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-5;-10;3)$ và có $u_2=(-3;-4;7)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac5{-3}\ne\dfrac{-7}{-4}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(2;-11;5)$, $[u_1,u_2]=(-57;-29;-41)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-57)\cdot2+(-29)\cdot(-11)+(-41)\cdot5=0$ nên $u_1,u_2$, $\overrightarrow{M_1M_2}$ đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau.
b) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-2;1;0)$ và có $u_1=(5;-1;3)$ là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-2;1;1)$ và có $u_2=(4;5;-6)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac54\ne\dfrac{-1}{5}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(0;0;1)$, $[u_1,u_2]=(-9;42;29)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-9)\cdot0+42\cdot0+29\cdot1=29\ne0$ nên $u_1,u_2,\overrightarrow{M_1M_2}$ không đồng phẳng.
Vậy $\Delta_1,\Delta_2$ chéo nhau.
c) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(0;-5;1)$ và có $u_1=(3;2;-3)$ là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(1;3;1)$ và có $u_2=(-6;-4;6)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $-2u_1=u_2$, suy ra $u_1,u_2$ cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(1;8;0)$ và $\dfrac31\ne\dfrac28$ nên $u_1,\overrightarrow{M_1M_2}$ không cùng phương.
Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2$.