Bài tự luận · Bài 13
Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài tự luận Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 13
(CD12) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1,\Delta_2$ trong mỗi trường hợp sau:
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t_1\\y=4+6t_1\\z=-1-12t_1\end{array}\right.$, $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=5-t_2\\y=-1-2t_2\\z=3+4t_2\end{array}\right.$ ($t_1,t_2$ là tham số).
b) $\Delta_1:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+4}{3}$, $\Delta_2:\dfrac{x-6}{-5}=\dfrac{y+5}{4}=\dfrac{z+5}{7}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z}{3}$, $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=-11+5t\\y=-2+3t\\z=3-2t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số).
a) $\Delta_1:\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t_1\\y=4+6t_1\\z=-1-12t_1\end{array}\right.$, $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=5-t_2\\y=-1-2t_2\\z=3+4t_2\end{array}\right.$ ($t_1,t_2$ là tham số).
b) $\Delta_1:\dfrac{x+3}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z+4}{3}$, $\Delta_2:\dfrac{x-6}{-5}=\dfrac{y+5}{4}=\dfrac{z+5}{7}$;
c) $\Delta_1:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z}{3}$, $\Delta_2:\left\{\begin{array}{l}x=-11+5t\\y=-2+3t\\z=3-2t\end{array}\right.$ ($t$ là tham số).
Xem lời giải
Lời giải
a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-2;4;-1)$ và có $u_1=(3;6;-12)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(5;-1;3)$ và có $u_2=(-1;-2;4)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $u_1=-3u_2$, suy ra $u_1,u_2$ cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(7;-5;4)$ và $\dfrac37\neq\dfrac6{-5}$ nên $u_1,\overrightarrow{M_1M_2}$ không cùng phương.
Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2$.
b) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-3;1;-4)$ và có $u_1=(2;-1;3)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(6;-5;-5)$ và có $u_2=(-5;4;7)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac2{-5}\neq\dfrac{-1}{4}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(9;-6;-1)$, $[u_1,u_2]=(-19;-29;3)$. Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-19)\cdot9+(-29)\cdot(-6)+3\cdot(-1)=0$ nên $u_1,u_2,\overrightarrow{M_1M_2}$ đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$.
c) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-1;4;0)$ và có $u_1=(1;-2;3)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-11;-2;3)$ và có $u_2=(5;3;-2)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\overrightarrow{M_1M_2}=(-10;-6;3)$,
$[u_1,u_2]=(-5;17;13)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-5)\cdot(-10)+17\cdot(-6)+13\cdot3=-13\neq0$ nên $u_1,u_2$, $\overrightarrow{M_1M_2}$ không đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.
Ta có: $u_1=-3u_2$, suy ra $u_1,u_2$ cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(7;-5;4)$ và $\dfrac37\neq\dfrac6{-5}$ nên $u_1,\overrightarrow{M_1M_2}$ không cùng phương.
Vậy $\Delta_1\parallel\Delta_2$.
b) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-3;1;-4)$ và có $u_1=(2;-1;3)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(6;-5;-5)$ và có $u_2=(-5;4;7)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\dfrac2{-5}\neq\dfrac{-1}{4}$, suy ra $u_1,u_2$ không cùng phương;
$\overrightarrow{M_1M_2}=(9;-6;-1)$, $[u_1,u_2]=(-19;-29;3)$. Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-19)\cdot9+(-29)\cdot(-6)+3\cdot(-1)=0$ nên $u_1,u_2,\overrightarrow{M_1M_2}$ đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$.
c) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua điểm $M_1(-1;4;0)$ và có $u_1=(1;-2;3)$ là vectơ chỉ phương. Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua điểm $M_2(-11;-2;3)$ và có $u_2=(5;3;-2)$ là vectơ chỉ phương.
Ta có: $\overrightarrow{M_1M_2}=(-10;-6;3)$,
$[u_1,u_2]=(-5;17;13)$.
Do $[u_1,u_2]\cdot\overrightarrow{M_1M_2}=(-5)\cdot(-10)+17\cdot(-6)+13\cdot3=-13\neq0$ nên $u_1,u_2$, $\overrightarrow{M_1M_2}$ không đồng phẳng. Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau.