Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ
Phương pháp:
Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $.
Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 11
(KNTT10) Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài các cạnh bằng $1$.
a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ $\overset\rightarrow{MA}$ và $\overset\rightarrow{BA},\overset\rightarrow{MA}$ và $\overset\rightarrow{AC}$.
b) Gọi $N$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$. Tính tích vô hướng $\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{AN}$.
c) Lấy điểm $P$ thuộc đoạn $AN$ sao cho $AP=3PN$. Hãy biểu thị các vectơ $\overset\rightarrow{AP},\overset\rightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overset\rightarrow{AB}$ và $\overset\rightarrow{AC}$. Tính độ dài đoạn $MP$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do tam giác $ABC$ là tam giác đều với độ dài các cạnh bằng $1,M$ là trung điểm $BC$, nên $MA=\frac{\sqrt{3}}2$,
$(\overset\rightarrow{MA};\overset\rightarrow{BA})=30^{\circ},(\overset\rightarrow{MA};\overset\rightarrow{AC})=120^{\circ}$. Suy ra $\overset\rightarrow{MA}\cdot\overset\rightarrow{BA}=\|\overset\rightarrow{MA}\|\cdot\|\overset\rightarrow{BA}\|\cdot\cos(\overset\rightarrow{MA};\overset\rightarrow{BA})=\frac34,\overset\rightarrow{MA}\cdot\overset\rightarrow{AC}=\|\overset\rightarrow{MA}\|\cdot\|\overset\rightarrow{AC}\|\cdot\cos(\overset\rightarrow{MA};\overset\rightarrow{AC})=-\frac{\sqrt{3}}4$.
b) Do tam giác $ABC$ đều, nên $(\overset\rightarrow{AB};\overset\rightarrow{AC})=60^{\circ}$. (1)
Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overset\rightarrow{AM}=\frac12(\overset\rightarrow{AB}+\overset\rightarrow{AC})$. (2)
Do $N$ đối xứng với $B$ qua $C$, nên $C$ là trung điểm của $BN$.
Suy ra $\overset\rightarrow{AN}=2\overset\rightarrow{AC}-\overset\rightarrow{AB}$. (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra
$\begin{aligned}\overset\rightarrow{AM}\cdot\overset\rightarrow{AN}&=\frac12(\overset\rightarrow{AB}+\overset\rightarrow{AC})\cdot(2\overset\rightarrow{AC}-\overset\rightarrow{AB})\\&=\frac12(\overset\rightarrow{AB}\cdot2\overset\rightarrow{AC}+\overset\rightarrow{AC}\cdot2\overset\rightarrow{AC}-\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{AB}-\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AB})\\&=\frac12(\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}+2\overset\rightarrow{AC}^{2}-\overset\rightarrow{AB}^{2})=\frac34.\end{aligned}$
c) Do $P$ thuộc đoạn $AN$ thoả mãn $AP=3PN$ nên $\overset\rightarrow{AP}=\frac34\overset\rightarrow{AN}=\frac32\overset\rightarrow{AC}-\frac34\overset\rightarrow{AB}$
Suy ra $\overset\rightarrow{MP}=\overset\rightarrow{AP}-\overset\rightarrow{AM}=(\frac32\overset\rightarrow{AC}-\frac34\overset\rightarrow{AB})-(\frac12\overset\rightarrow{AB}+\frac12\overset\rightarrow{AC})=\overset\rightarrow{AC}-\frac54\overset\rightarrow{AB}$.
Từ đó $MP^{2}=\overset\rightarrow{MP}^{2}=(\overset\rightarrow{AC}-\frac54\overset\rightarrow{AB})^{2}=\overset\rightarrow{AC}^{2}+\frac{25}{16}\overset\rightarrow{AB}^{2}-2\cdot\overset\rightarrow{AC}\cdot\frac54\overset\rightarrow{AB}=1+\frac{25}{16}-\frac52\cdot1\cdot1\cdot\frac12=\frac{21}{16}$
Suy ra $MP=\frac{\sqrt{21}}4$.
