Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ
Phương pháp:
Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $.
Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 10
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, có $\widehat A=120^{\circ},AB=3$.
a) Tính $\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC},\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{CB},\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{CB}$.
b) Tính độ dài cạnh $BC$.
c) Lấy điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Tính $\overset\rightarrow{MA}\cdot\overset\rightarrow{MB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do tam giác $ABC$ cân tại $A,\widehat A=120^{\circ},AB=3$, nên
$\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}=\|\overset\rightarrow{AB}\|\cdot\|\overset\rightarrow{AC}\|\cdot\cos(\overset\rightarrow{AB};\overset\rightarrow{AC})=3\cdot3\cdot\cos120^{\circ}=-\frac92$.
Theo quy tắc ba điểm ta có $\overset\rightarrow{CB}=\overset\rightarrow{AB}-\overset\rightarrow{AC}$ và do đó:
$\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{CB}=\overset\rightarrow{AB}\cdot(\overset\rightarrow{AB}-\overset\rightarrow{AC})=\overset\rightarrow{AB}^{2}-\overset\rightarrow{AB}\cdot\overset\rightarrow{AC}=3^{2}-(-\frac92)=\frac{27}{2}$
$\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{CB}=\overset\rightarrow{AC}\cdot(\overset\rightarrow{AB}-\overset\rightarrow{AC})=\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{AB}-\overset\rightarrow{AC}^{2}=(-\frac92)-3^{2}=-\frac{27}{2}$.
b) Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overset\rightarrow{BC}=\overset\rightarrow{AC}-\overset\rightarrow{AB}$. Từ đó $BC^{2}=\overset\rightarrow{BC}^{2}=(\overset\rightarrow{AC}-\overset\rightarrow{AB})^{2}=\overset\rightarrow{AC}^{2}+\overset\rightarrow{AB}^{2}-2\overset\rightarrow{AC}\cdot\overset\rightarrow{AB}=3^{2}+3^{2}-2\cdot(-\frac92)=27$
Suy ra $BC=3\sqrt{3}$.
c) Gọi I là trung điểm của $BC$.
Do $M$ thuộc cạnh $BC$ và $MB=2MC$, I là trung điểm của $BC$, nên ta có $\overset\rightarrow{MB}=\frac23\overset\rightarrow{CB},\overset\rightarrow{IB}=\frac12\overset\rightarrow{CB}$.
Suy ra
$\begin{aligned}\overset\rightarrow{MI}&=\overset\rightarrow{MB}+\overset\rightarrow{BI}=\overset\rightarrow{MB}-\overset\rightarrow{IB}\\&=(\frac23-\frac12)\overset\rightarrow{CB}=\frac16\overset\rightarrow{CB}.\end{aligned}$
Từ đó, theo định lí chiếu, ta được
$\overset\rightarrow{MA}\cdot\overset\rightarrow{MB}=\overset\rightarrow{MI}\cdot\overset\rightarrow{MB}=\frac16\cdot\frac23\cdot\overset\rightarrow{CB}^{2}=3$
