Dạng 1. Tính tích vô hướng của hai vectơ, khoảng cách hai điểm, góc giữa hai vectơ
Phương pháp:
Với hai điểm $ A,B $ phân biệt, ta có $ \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } =\|\overset\rightarrow { AB }\| ^ { 2 } $, do đó $ AB=\sqrt[] { \overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } } $.
Với hai vectơ khác vectơ $ 0 $, sử dụng công thức $ cos(a,b)=\frac { a\cdot b } { \|a\|\cdot \|b\| } $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 12
(CD10) Cho tứ giác $ABCD$ có $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Biết $AD=2,BC=3,AD\perp BC$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\overset\rightarrow{MN}=\overset\rightarrow{MA}+\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{DN}$ và $\overset\rightarrow{MN}=\overset\rightarrow{MB}+\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN}$.
Từ đó, ta có:
$2\overset\rightarrow{MN}=\overset\rightarrow{MA}+\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{DN}+\overset\rightarrow{MB}+\overset\rightarrow{BC}+\overset\rightarrow{CN}=(\overset\rightarrow{MA}+\overset\rightarrow{MB})+(\overset\rightarrow{DN}+\overset\rightarrow{CN})+\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{BC}=\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{BC}$.
Suy ra $\overset\rightarrow{MN}=\frac12(\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{BC})$.
Do đó $MN^{2}=\overset\rightarrow{MN}^{2}=\frac14(\overset\rightarrow{AD}+\overset\rightarrow{BC})^{2}=\frac14(\overset\rightarrow{AD}^{2}+\overset\rightarrow{BC}^{2}+2\overset\rightarrow{AD}\cdot\overset\rightarrow{BC})$
$=\frac14(\|\overset\rightarrow{AD}\|^{2}+\|\overset\rightarrow{BC}\|^{2}+0)=\frac14(2^{2}+3^{2})=\frac{13}{4}$.
Vậy $MN=\frac{\sqrt{13}}2$.
