Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 4

Gọi $H,\,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,SB$; $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$.
Ta có $MO\parallel SD$.
Dễ thấy $BC\perp\left( SAB \right)\Rightarrow BC\perp AM$, mà $SB\perp AM$ nên $AM\perp\left( SBC \right)$.
Xét tam giác $AMO$, có:
$AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$;
$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=a$;
$MO=\frac{1}{2}SD=\frac{1}{2}\sqrt{SH^{2}+HD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{SH^{2}+HA^{2}+AD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)^{2}+\left( \frac{a}{2} \right)^{2}+3a^{2}}=a$.
$\Rightarrow \Delta AMO$ cân tại $O$
$\Rightarrow \sin\widehat{AMO}=\frac{d\left( O;AM \right)}{OM}=\frac{\sqrt{MO^{2}-\frac{AM^{2}}{4}}}{OM}=\frac{\sqrt{a^{2}-\frac{3a^{2}}{16}}}{a}=\frac{\sqrt{13}}{4}$.
$\Rightarrow \cos\left( \widehat{SD;\left( SBC \right)} \right)=\sin\widehat{AMO}=\frac{\sqrt{13}}{4}$