Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 5

Do $\widehat{ASB}=90^{\circ}$ nên tâm $O'$ của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABI$ nằm trên đường thẳng $d$ đi qua trung điểm $O$ của đoạn thẳng $AB$ và $d\perp\left( SAB \right)$. $\left( 1 \right)$
Trong mặt phẳng $\left( SCH \right)$ kẻ $IK\perp SH$ tại $K$.
Theo giả thiết $SI\perp\left( ABC \right)$ suy ra $SI\perp AB$. Từ $SI\perp AB$ và $AB\perp CH$ suy ra $AB\perp\left( SCH \right)\Rightarrow AB\perp IK$.
Từ $IK\perp SH$ và $AB\perp IK$ ta có $IK\perp\left( SAB \right)$. $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $IK\parallel d$. Bởi vậy $\widehat{\left( OO';\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( d;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( IK;\left( ABC \right) \right)}$.
Vì $\left( SCH \right)\perp\left( ABC \right)$ nên $IH$ là hình chiếu vuông góc của $IK$ trên mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Bởi vậy
$\widehat{\left( IK;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( IK,IH \right)}=\widehat{HIK}=\widehat{HSI}$.
Do tam giác $ABC$ vuông tại $C$ và $SAB$ vuông tại $S$ nên $CO=SO=\frac{AB}{2}$.
Xét hai tam giác vuông $CHO$ và $SHO$ có $CO=SO$, cạnh $OH$ chung nên $\Delta CHO=\Delta SHO\left( c.g.c \right)$, bởi vậy $CH=SH$.
Xét tam giác $SIH$ vuông tại $I$ có $IH=\frac{CH}{2}=\frac{SH}{2}$, ta có $\sin\widehat{HSI}=\frac{IH}{SH}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{HSI}=30^{\circ}$.
Vậy $\widehat{\left( OO';\left( ABC \right) \right)}=30^{\circ}$.