Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 6

Cách 1:
● Gọi $O$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Dựng đường thẳng $d$ qua $O$ và $d\,\parallel\,SB$, $d$ cắt $SD$ tại $K$. Khi đó góc giữa $SB$ và $\left( SCD \right)$ chính là góc giữa $OK$ và $\left( SCD \right)$.
● Vì $SO\perp(ABCD)$$\Rightarrow SO\perp CD$.
Ta lại có: $\Delta ABC$ đều ( $\Delta ABC$ cân tại $B$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ}$).
$\Rightarrow AB\perp CO\Rightarrow CD\perp CO$
$\Rightarrow CD\perp(SCO)\Rightarrow (SCD)\perp(SCO)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SC$, khi đó ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} OH\perp SC \\ OH\perp CD \end{array} \right.\Rightarrow OH\perp\left( SCD \right)$. Do đó góc giữa $SB$ và mặt phẳng $\left( SCD \right)$ là: $\widehat{OKH}=\varphi$.
Ta có: $\sin\varphi=\sin\widehat{OKH}=\frac{OH}{OK}$.
● Tứ diện $S.ABC$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên ta tính được:
$OC=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ $\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vì $OK \parallel SB\Rightarrow \frac{OK}{SB}=\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$$\Rightarrow OK=\frac{2}{3}SB=\frac{2}{3}a$.
Vậy: $\sin\varphi=\frac{OH}{OK}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Cách 2:

Trước hết ta chứng minh được $\sin\,(SB;(SCD))=\frac{d(B,(SCD))}{SB}$ (như hình trên).
Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Khi đó ta có $CO\perp CD$.
Dựng $OH\perp SC$ suy ra $OH\perp(SCD)$. Ta tính được $OC=\frac{a\sqrt{3}}{3},SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Khi đó $d(B,(SCD))=\frac{3}{2}d(O,(SCD))=\frac{3}{2}OH=\frac{3}{2}\frac{a\sqrt{2}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Vậy $\sin\,(SB;(SCD))=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.