Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 7
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp\left( ABCD \right)$, $SA=x$. Xác định $x$ để hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( SCD \right)$ hợp với nhau góc $60^{\circ}$.
Xem lời giải
Lời giải
$SB=SD=\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}$ = $\sqrt{x^{2}+a^{2}}$.
$\Delta SDC=\Delta SBC$; $BM\perp SC$; $DM\perp SC$; $BM=DM$; $M\in SC$.
$SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}$=$\sqrt{x^{2}+2a^{2}}$; $MD=\frac{SD.CD}{SC}$ = $\frac{a\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{\sqrt{x^{2}+2a^{2}}}$
$\left( \widehat{\left( SBC \right);\left( SDC \right)} \right)=\widehat{\left( BM;MD \right)}=60^{\circ}$.
TH1: $\widehat{BMD}=60^{\circ}$$\Rightarrow$$MD=BD$$\Leftrightarrow$$\frac{a\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{\sqrt{x^{2}+2a^{2}}}=a\sqrt{2}$ (vô nghiệm).
TH2: $\widehat{BMD}=120^{\circ}$$\Rightarrow$$BD=MD\sqrt{3}$$\Leftrightarrow$$a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{\sqrt{x^{2}+2a^{2}}}$$\Leftrightarrow$$x=a$.