Bài tập nâng cao · Bài 3
Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 3
Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a$, $O$ là trung điểm $AC$ và $SO=b$. Gọi $\left( \Delta \right)$ là đường thẳng đi qua $C$, $\left( \Delta \right)$ chứa trong mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ và khoảng cách từ $O$ đến $\left( \Delta \right)$ là $\frac{a\sqrt{14}}{6}$. Giá trị lượng giác $\cos\left( \left( SA \right),\left( \Delta \right) \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $\left( \Delta' \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và song song với $\left( \Delta \right)$. Hạ $OH\perp\left( \Delta' \right)\left( H\in \left( \Delta' \right) \right)$. Do $O$ là trung điểm của $AC$ và $\left( \Delta \right)\parallel\left( \Delta' \right)$ nên $d\left( O,\left( \Delta' \right) \right)=d\left( O,\left( \Delta \right) \right)$ hay $OH=\frac{a\sqrt{14}}{6}$.
Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên đáy $ABCD$ là hình vuông và $SO\perp\left( ABCD \right)$.
Do $AH\perp OH$ và $AH\perp SO$ nên, suy ra $AH\perp SH$.
Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC=a\sqrt{2}$, suy ra $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $AHO$ ta có $OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}$, suy ra $AH=\sqrt{OA^{2}-OH^{2}}=\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}-\left( \frac{a\sqrt{14}}{6} \right)^{2}}=\frac{a}{3}$.
Áp dụng Định lí Pitago vào tam giác vuông $SAO$ ta có $SA^{2}=OA^{2}+SO^{2}$, suy ra $SA=\sqrt{OA^{2}+SO^{2}}=\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}+b^{2}}=\frac{\sqrt{2a^{2}+4b^{2}}}{2}$.
Do $\left( \Delta \right)\parallel\left( \Delta' \right)$ nên $\cos\left( \left( SA \right),\left( \Delta \right) \right)=\cos\left( \left( SA \right),\left( \Delta' \right) \right)=\cos\widehat{SAH} =\frac{AH}{SA}=\frac{2a}{3\sqrt{2a^{2}+4b^{2}}}$.