Bài tập nâng cao Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng · Bài 2

Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} DO\perp AC \\ DO\perp SA\,\left( SA\perp\left( ABCD \right) \right) \end{array} \right.\Rightarrow DO\perp\left( SAC \right)$.
$\Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SD$ lên mặt phẳng $\left( SAC \right)$$\Rightarrow \widehat{\left( SD;\,\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( SD;\,SO \right)}=\widehat{DSO}=\alpha$.
Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$: $SD=\sqrt{3a^{2}+a^{2}}=2a$.
Xét $\Delta SOD$ vuông tại $O$: có $SD=2a$, $OD=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sin\alpha=\sin\widehat{DSO}=\frac{DO}{SD}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.