Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 13
Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $u_1,u_2,u_3$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Theo đề: $u_1-1;u_2;u_3-19$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=65 \\ u_1-1+u_3-19=2u_2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=65 \\ u_1-2u_2+u_3=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_1.q+u_1.q^2=65 \\ u_1-2u_1.q+u_1.q^2=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1(1+q+q^2)=65\quad (1) \\ u_1(1-2q+q^2)=20\quad (2) \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(1)}{(2)}\Leftrightarrow \frac{1+q+q^2}{1-2q+q^2}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4} \Leftrightarrow 4(1+q+q^2)=13(1-2q+q^2)$
$\Leftrightarrow 9q^2-30q+9=0 \Leftrightarrow q=3\vee q=\frac{1}{3}$
Vì $u_1,u_2,u_3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn $q=3\Rightarrow u_1=5$
Vậy $u_1=5;\ u_2=15;\ u_3=45.$
Theo đề: $u_1-1;u_2;u_3-19$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=65 \\ u_1-1+u_3-19=2u_2 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_2+u_3=65 \\ u_1-2u_2+u_3=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1+u_1.q+u_1.q^2=65 \\ u_1-2u_1.q+u_1.q^2=20 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u_1(1+q+q^2)=65\quad (1) \\ u_1(1-2q+q^2)=20\quad (2) \end{array} \right.$
Lấy $\frac{(1)}{(2)}\Leftrightarrow \frac{1+q+q^2}{1-2q+q^2}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4} \Leftrightarrow 4(1+q+q^2)=13(1-2q+q^2)$
$\Leftrightarrow 9q^2-30q+9=0 \Leftrightarrow q=3\vee q=\frac{1}{3}$
Vì $u_1,u_2,u_3$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân tăng dần nên chọn $q=3\Rightarrow u_1=5$
Vậy $u_1=5;\ u_2=15;\ u_3=45.$