(CD12) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$ (Hình). Tính:
a) $\overrightarrow{A'B}\cdot\overrightarrow{D'C};\overrightarrow{D'A}\cdot\overrightarrow{BC}$;
b) Các góc $(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{B'C'});(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{BD})$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong không gian, ta có:
$\begin{aligned}\overrightarrow{A'B}\cdot\overrightarrow{D'C}&=\lVert\overrightarrow{A'B}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{D'C}\rVert\cdot\cos(\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{D'C})\\&=a\sqrt{2}\cdot a\cdot\cos(\overrightarrow{A'B},\overrightarrow{A'B'})\\&=a^2\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ=a^2.\end{aligned}$
$\overrightarrow{D'A}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AD'}\cdot\overrightarrow{BC}=-\lVert\overrightarrow{AD'}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{BC}\rVert\cdot\cos(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{BC})=-a\sqrt{2}\cdot a\cdot\cos(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{AD})=-a^2\sqrt{2}\cdot\cos45^\circ=-a^2$.
b) $(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{B'C'})=(\overrightarrow{A'D},\overrightarrow{A'D'})=45^\circ$.
$(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{BD})=(\overrightarrow{BC'},\overrightarrow{BD})=\widehat{C'BD}$.
Do tam giác $C'BD$ là tam giác đều nên $\widehat{C'BD}=60^\circ$. Vậy $(\overrightarrow{AD'},\overrightarrow{BD})=60^\circ$.
