(KNTT12) Cho hình lăng trụ $ABCDEF.A'B'C'D'E'F'$ có hai đáy là các hình lục giác đều với độ dài cạnh bằng 1.
Tính góc giữa các cặp vectơ sau rồi tính tích vô hướng của chúng:
a) $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{B'C'}$;
b) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'D'}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ABCDEF$ là lục giác đều nên $\widehat{ABC}=120^\circ$.
Vì tứ giác $BCC'B'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}$.
Suy ra $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{B'C'})=(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\widehat{ABC}=120^\circ$.
Ta có $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{B'C'}=\lVert\overrightarrow{BA}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{B'C'}\rVert\cdot\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{B'C'})=1\cdot1\cdot\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$.
b) Tứ giác $ABB'A'$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}$, suy ra $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'})=(\overrightarrow{A'B'},\overrightarrow{A'D'})=\widehat{B'A'D'}$.
Vì $A'B'C'D'E'F'$ là hình lục giác đều nên $A'D'\parallel B'C'$, suy ra
$\widehat{B'A'D'}=180^\circ-\widehat{A'B'C'}=180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'})=60^\circ$.
Vì $A'B'C'D'E'F'$ là hình lục giác đều nên $A'D'=2B'C'=2$.
Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'D'}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{A'D'}\rVert\cdot\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'})=1\cdot2\cdot\cos60^\circ=1$.
