Bài tự luận · Bài 27
Dạng 3. Ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 27
(KNTT12) Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$
b) $AB\perp CD$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$
b) $AB\perp CD$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{AC}\rVert\cdot\cos\widehat{BAC}=AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{BAC}$,
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{AD}\rVert\cdot\cos\widehat{BAD}=AB\cdot AD\cdot\cos\widehat{BAD}$.
Vì $AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Từ câu a, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, hay $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.
Vậy $AB\perp CD$.
Nhận xét. Ta có thể sử dụng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\lVert\overrightarrow{AB}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{AD}\rVert\cdot\cos\widehat{BAD}=AB\cdot AD\cdot\cos\widehat{BAD}$.
Vì $AC=AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Từ câu a, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$, hay $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$.
Vậy $AB\perp CD$.
Nhận xét. Ta có thể sử dụng tích vô hướng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.