Bài tự luận · Bài 30
Dạng 3. Ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 30
(KNTT12) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có độ dài các cạnh bằng $a$. Tính các tích vô hướng sau theo a:
a) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'D'}$;
b) $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{B'C'}$;
c) $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}$.
a) $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'D'}$;
b) $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{B'C'}$;
c) $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{B'D'}=0$.
b) $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}a\cdot a\cdot\cos\widehat{CBD}=\sqrt{2}a^2\cdot\cos45^\circ=a^2$.
c) Ta có $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{A'B'}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'})=\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{BC'}$.
Ta có $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}^2=a^2$. Mặt khác, vì $A'B'$ vuông góc với mặt phẳng $(BCC'B')$ nên $A'B'$ vuông góc với $BC'$, suy ra $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{BC'}=0$. Vậy $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}=a^2$.
b) $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}a\cdot a\cdot\cos\widehat{CBD}=\sqrt{2}a^2\cdot\cos45^\circ=a^2$.
c) Ta có $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{A'B'}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC'})=\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{BC'}$.
Ta có $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A'B'}^2=a^2$. Mặt khác, vì $A'B'$ vuông góc với mặt phẳng $(BCC'B')$ nên $A'B'$ vuông góc với $BC'$, suy ra $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{BC'}=0$. Vậy $\overrightarrow{A'B'}\cdot\overrightarrow{AC'}=a^2$.