Bài tự luận · Bài 31
Dạng 3. Ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 31
(KNTT12) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC$ và $\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{SA}\cdot(\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SB})=\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}$.
Mặt khác $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=SA\cdot SC\cdot\cos\widehat{ASC}$ và $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=SA\cdot SB\cdot\cos\widehat{ASB}$, suy ra $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}$. Do đó $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$.
Chứng minh tương tự có $\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.
Mặt khác $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=SA\cdot SC\cdot\cos\widehat{ASC}$ và $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}=SA\cdot SB\cdot\cos\widehat{ASB}$, suy ra $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{SB}$. Do đó $\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$.
Chứng minh tương tự có $\overrightarrow{SB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.