Bài tự luận · Bài 32
Dạng 3. Ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 32
(CTST12) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a\sqrt{2}$.
a) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{A'C'}$.
b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB'}\cdot\overrightarrow{A'C'}$ theo $a$.
a) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB'}$ và $\overrightarrow{A'C'}$.
b) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB'}\cdot\overrightarrow{A'C'}$ theo $a$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$, suy ra $(\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AC})=\widehat{CAB'}$.
Ta có $AC=AB'=CB'=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a$ nên $ACB'$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{CAB'}=60^\circ$.
Vậy $(\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{A'C'})=60^\circ$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB'}\cdot\overrightarrow{A'C'}=\lVert\overrightarrow{AB'}\rVert\cdot\lVert\overrightarrow{A'C'}\rVert\cdot\cos(\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{A'C'})$
$=2a\cdot2a\cdot\cos60^\circ=2a\cdot2a\cdot\frac{1}{2}=2a^2$.