Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 33

a) Do $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=AC=AD=1$, nên ta có $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=0,\overrightarrow{AB}^2=1$.
Suy ra $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}(0-1+0-0)$
$=-\frac{1}{2}$.
b) Ta có $AM=\frac{\sqrt{2}}{2},BD=\sqrt{2}$, suy ra $\cos(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD})=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BD}}{\|\overrightarrow{AM}\|\cdot\|\overrightarrow{BD}\|}=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$.
Vậy $(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{BD})=120^\circ$.