(CTST12) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có tất cả các cạnh bằng $a$ và cho biết $\widehat{BAD}=\widehat{BAA'}=\widehat{DAA'}=60^\circ$. Tính các tích vô hướng sau:
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$;
b) $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}$;
c) $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\|\overrightarrow{AB}\|\cdot\|\overrightarrow{AD}\|\cdot\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$
$=AB\cdot AD\cdot\cos\widehat{BAD}=a\cdot a\cdot\cos60^\circ=\frac{a^2}{2}$.
b) $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=\|\overrightarrow{DA}\|\cdot\|\overrightarrow{DC}\|\cdot\cos(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC})$
$=DA\cdot DC\cdot\cos\widehat{ADC}=a\cdot a\cdot\cos120^\circ=-\frac{a^2}{2}$.
c) $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AA'}\cdot(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AD}$
$=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}=a^2$.
