Bài tự luận · Bài 28
Dạng 3. Ứng dụng của tích vô hướng
Bài tự luận Vectơ trong không gian · Bài 28
(KNTT12) Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$. Biết rằng $AA'=2$ và tứ giác $ABCD$ là hình thoi có $AB=1$ và $\widehat{ABC}=60^\circ$, hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'D'}$;
b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BD}$;
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$
a) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'D'}$;
b) $\overrightarrow{AA'}$ và $\overrightarrow{BD}$;
c) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A'C'}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'D'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=\widehat{BAD}=180^\circ-60^\circ=120^\circ$, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'D'}=1\cdot1\cdot\cos120^\circ=-\frac{1}{2}$.
b) Vì $AA'$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BD})=90^\circ$, suy ra $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD}=0$.
c) Tam giác $ABC$ có $AB=BC=1$ và $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên tam giác $ABC$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BAC}=60^\circ$ và $AC=1$.
Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60^\circ$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=1\cdot1\cdot\cos60^\circ=\frac{1}{2}$.
b) Vì $AA'$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ nên $(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{BD})=90^\circ$, suy ra $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD}=0$.
c) Tam giác $ABC$ có $AB=BC=1$ và $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên tam giác $ABC$ là tam giác đều, suy ra $\widehat{BAC}=60^\circ$ và $AC=1$.
Do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60^\circ$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}=1\cdot1\cdot\cos60^\circ=\frac{1}{2}$.