Bài tự luận · Bài 16
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 16
(KNTT11) Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp(ABC)$, đáy là tam giác $ABC$ vuông tại $B$, biết $SA=AB=BC=a$. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm $B$ đến đường thẳng $SC$.
b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $SC$.
a) Từ điểm $B$ đến đường thẳng $SC$.
b) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $SC$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $BC\perp AB,BC\perp SA$ nên $BC\perp(SAB)$, suy ra $BC\perp SB$. Kẻ $BH\perp SC$ tại $H$ thì $d(B,SC)=BH$.
Theo định lí Pythagore, ta tính được
$SB=AC=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}.$ Xét tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$.
Khi đó: $BH=\frac{SB\cdot BC}{SC}=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy $d(B,SC)=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
b) Kẻ $AK\perp SB$ tại $K$, có $BC\perp(SAB)$ nên $BC\perp AK$. Suy ra $AK\perp(SBC)$, do đó $d(A,(SBC))=AK$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có đường cao $AK$.
Khi đó $AK=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $d(A,(SBC))=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
c) Dựng hình bình hành $ABCD$, vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Vì $CD\perp AD,CD\perp SA$ nên $CD\perp(SAD)$. Kẻ $AE\perp SD$ tại $E$, mà $AE\perp CD$ nên $AE\perp(SCD)(1)$.
Vì mặt phẳng $(SCD)$ chứa $SC$ và song song với $AB$ nên
$d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))(2).$
Từ (1) và (2), suy ra $d(AB,SC)=AE$. Vì tam giác $SAD$ vuông cân tại $A$, có đường cao $AE$ nên $AE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.