(KNTT11) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Tính theo $a$ khoảng cách:
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BDA' \right)$.
b) Giữa hai đường thẳng song song $BC$ và $A'D'$.
c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau $A'B$ và $B'C$.

Question

Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png] (KNTT11) Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng $a$. Tính theo $a$ khoảng cách: a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BDA' \right)$. b) Giữa hai đường thẳng song song $BC$ và $A'D'$. c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau $A'B$ và $B'C$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image513.png] a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$, kẻ $AH$ vuông góc với $A'O$ tại $H$. Ta có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, có tâm $O$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, tam giác $AOA'$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ nên ta tính được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Do đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( A'BD ight)$ bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. b) Ta có $A'D'\parallel BC$ và $BC\perp\left( ABB'A' ight)$ nên $BC\perp A'B$. Do đó $A'B=d\left( A',BC ight)=d\left( A'D',BC ight)=a\sqrt{2}$. c) Vì $B'C\parallel A'D$ và $A'D\subset\left( A'BD ight),B'C
ot\subset\left( A'BD ight)$ nên $B'C\parallel\left( A'BD ight)$. Do đó $d\left( A'B,B'C ight)=d\left( B'C,\left( A'BD ight) ight)=d\left( C,\left( A'BD ight) ight)$. Vì $AC$ cắt mặt phẳng $\left( A'BD ight)$ tại $O$ là trung điểm của $AC$ nên $d\left( C,\left( A'BD ight) ight)=d\left( A,\left( A'BD ight) ight)=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Bài tự luận Khoảng cách · Bài 17