Bài tự luận · Bài 15
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 15
(CD11) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a,AA'\perp(ABCD)$, $AA'=2a,AC=a$. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$;
b) Giữa hai mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( CDD'C' \right)$;
c) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C$.
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( BCC'B' \right)$;
b) Giữa hai mặt phẳng $\left( ABB'A' \right)$ và $\left( CDD'C' \right)$;
c) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. Khi đó, $AH\perp\left( BCC'B' \right)$. Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $d\left( A,\left( BCC'B' \right) \right)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
b) Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên $\left( ABB'A' \right)\parallel\left( CDD'C' \right)$.
Gọi $I$ là hình chiếu của $A$ trên $CD$. Vì tam giác $ACD$ đều cạnh $a$ nên $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Khi đó, $d\left( \left( ABB'A' \right),\left( CDD'C' \right) \right)=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) Gọi $E$ là hình chiếu của $O$ trên $A'C$. Vì $BD\perp\left( A'AC \right)$ nên $BD\perp OE$. Suy ra $d\left( BD,A'C \right)=OE$. Ta có:
$A'C=\sqrt{A'A^{2}+AC^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}+a^{2}}=a\sqrt{5}.$
Vì $\Delta CEO\sim\Delta CAA'$ nên
$\frac{OE}{AA'}=\frac{OC}{A'C}\Rightarrow OE=\frac{AA'\cdot OC}{A'C}=\frac{2a\cdot\frac{a}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.
Vậy $d\left( BD,A'C \right)=OE=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.