Bài tự luận · Bài 14
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Phương pháp: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a,b$. - Xác định mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$, khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$. - Khi $a\perp b$, ta có thể làm như sau: Xác định mặt phẳng $(P)$ đi qua $b$ và vuông góc với $a$, giao điểm của $a$ và $(P)$ là $H$, hình chiếu của $H$ trên b là $K$. Khi đó, $HK$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ và $d(a,b)=HK$. [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/B. TU LUAN/image279.png]
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 14
(CD11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,AC$ cắt $BD$ tại $O$, $SO\perp(ABCD),SA=2a$. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$;
b) Giữa hai đường thẳng $SO$ và $CD$;
c) Từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$;
d) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.
a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$;
b) Giữa hai đường thẳng $SO$ và $CD$;
c) Từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$;
d) Giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $d(A,(SBD))=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
b) Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$. Khi đó,
$d(SO,CD)=OM=\frac{a}{2}$
c) Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SM$. Khi đó, $OH\perp(SCD)$ nên $d(O,(SCD))=OH$. Ta có:
$SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\sqrt{(2a)^{2}-\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^{2}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$
và $OH=\frac{SO\cdot OM}{SM}=\frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}\cdot\frac{a}{2}}{\sqrt{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)^{2}+\left( \frac{a}{2} \right)^{2}}}=\frac{a\sqrt{210}}{30}$.
d) Vì $AB\parallel(SCD)$ nên $d(AB,SD)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$. Gọi $K$ là hình chiếu của $A$ trên $(SCD)$. Vì $H$ là hình chiếu của $O$ trên $(SCD)$ mà $C,O,A$ thẳng hàng nên $C,H,K$ thẳng hàng. Ngoài ra, ta có $OH\parallel AK$. Do đó, $\frac{OH}{AK}=\frac{OC}{AC}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $d(AB,SD)=d(A,(SCD))=AK=2OH=\frac{a\sqrt{210}}{15}$.