Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 36

a. Tìm giao điểm $I=AN\cap\left( SBD \right)$.
Chọn mặt phẳng phụ $\left( SAC \right)\supset AN$.
Tìm giao tuyến $\left( SAC \right)\cap\left( SBD \right)$.
$\left( SAC \right)\cap\left( SBD \right)=SO$
Trong mặt phẳng $\left( SAC \right)$, gọi $I=AN\cap SO$.
Vậy $I\in AN$, $I\in SO,\,SO\subset\left( SBD \right)\Rightarrow I\in \left( SBD \right)$
Do đó $I=AN\cap\left( SBD \right)$
b. Tìm giao điểm $J=MN\cap\left( SBD \right)$.
Chọn mặt phẳng phụ $\left( SMC \right)\supset MN$.
Tìm $\left( SMC \right)\cap\left( SBD \right)$.
Ta có $S$ là một điểm chung của $\left( SMC \right)$ và $\left( SBD \right)$.
Trong $\left( ABCD \right)$, gọi $E=MC\cap BD$.
$\Rightarrow \left( SMC \right)\cap\left( SBD \right)=SE$.
Trong $\left( SMC \right)$, gọi $J=MN\cap SE$
$J\in MN$
$J\in SE$, mà $SE\subset\left( SBD \right)\Rightarrow J\in \left( SBD \right)$
Vậy $J=MN\cap\left( SBD \right)$.
c. Chứng minh $I,J,B$ thẳng hàng.
Ta có: $B\in \left( ABN \right)\cap\left( SBD \right)$.
$I\in SO$, mà $SO\subset\left( SBD \right)\Rightarrow I\in \left( SBD \right)$
$I\in AN$, mà $AN\subset\left( ANB \right)\Rightarrow I\in \left( ANB \right)$
$\Rightarrow$ $I\in \left( ABN \right)\cap\left( SBD \right)$
$J\in SE$, mà $SE\subset\left( SBD \right)\Rightarrow J\in \left( SBD \right)$
$J\in MN$, mà $MN\subset\left( ANB \right)\Rightarrow J\in \left( ANB \right)$
$\Rightarrow$ $J\in \left( ABN \right)\cap\left( SBD \right)$
Vậy $I,J,B$ thẳng hàng.