Bài tập nâng cao · Bài 37
DẠNG 4: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng nên thẳng hàng.
Bài tập nâng cao Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 37
Cho hình chóp $SABC$. Gọi $L,M,N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SA,SB,AC$ sao cho $LM$ không song song với $AB$, $LN$ không song song với $SC$.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
b. Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$ và $J=SC\cap\left( LMN \right)$.
c. Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
b. Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$ và $J=SC\cap\left( LMN \right)$.
c. Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
Xem lời giải
Lời giải
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Ta có: $N$ là điểm chung của $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Trong $\left( SAB \right)$, $LM$ không song song với $AB$
Gọi $K=AB\cap LM$
$K\in LM$, mà $LM\subset\left( LMN \right)\Rightarrow K\in \left( LMN \right)$
$K\in AB$, mà $AB\subset\left( ABC \right)\Rightarrow K\in \left( ABC \right)$
Vậy $KN=\left( LMN \right)\cap\left( ABC \right)$
b. Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$ và $J=SC\cap\left( LMN \right)$.
Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$
Chọn mặt phẳng phụ $\left( ABC \right)\supset BC$
Tìm giao tuyến $\left( ABC \right)\cap\left( LMN \right)$.
$\left( ABC \right)\cap\left( LMN \right)=NK$
Trong $\left( ABC \right)$, gọi $I=NK\cap BC$
$I\in BC$
$I\in NK$, mà $NK\subset\left( LMN \right)\Rightarrow I\in \left( LMN \right)$
Vậy $I=BC\cap\left( LMN \right)$
Tìm giao điểm $J=SC\cap\left( LMN \right)$
Trong $\left( SAC \right)$, $LN$ không song song với $SC$
Gọi $J=LN\cap SC$
$J\in SC$
$J\in LN$, mà $LN\subset\left( LMN \right)\Rightarrow J\in \left( LMN \right)$
Vậy $J=SC\cap\left( LMN \right)$
c. Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
Ta có $M,I,J$ là các điểm chung của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( SBC \right)$.
Vậy $M,I,J$ thẳng hàng.
Ta có: $N$ là điểm chung của $\left( LMN \right)$ và $\left( ABC \right)$.
Trong $\left( SAB \right)$, $LM$ không song song với $AB$
Gọi $K=AB\cap LM$
$K\in LM$, mà $LM\subset\left( LMN \right)\Rightarrow K\in \left( LMN \right)$
$K\in AB$, mà $AB\subset\left( ABC \right)\Rightarrow K\in \left( ABC \right)$
Vậy $KN=\left( LMN \right)\cap\left( ABC \right)$
b. Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$ và $J=SC\cap\left( LMN \right)$.
Tìm giao điểm $I=BC\cap\left( LMN \right)$
Chọn mặt phẳng phụ $\left( ABC \right)\supset BC$
Tìm giao tuyến $\left( ABC \right)\cap\left( LMN \right)$.
$\left( ABC \right)\cap\left( LMN \right)=NK$
Trong $\left( ABC \right)$, gọi $I=NK\cap BC$
$I\in BC$
$I\in NK$, mà $NK\subset\left( LMN \right)\Rightarrow I\in \left( LMN \right)$
Vậy $I=BC\cap\left( LMN \right)$
Tìm giao điểm $J=SC\cap\left( LMN \right)$
Trong $\left( SAC \right)$, $LN$ không song song với $SC$
Gọi $J=LN\cap SC$
$J\in SC$
$J\in LN$, mà $LN\subset\left( LMN \right)\Rightarrow J\in \left( LMN \right)$
Vậy $J=SC\cap\left( LMN \right)$
c. Chứng minh $M,I,J$ thẳng hàng.
Ta có $M,I,J$ là các điểm chung của hai mặt phẳng $\left( LMN \right)$ và $\left( SBC \right)$.
Vậy $M,I,J$ thẳng hàng.