Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, phương trình đường thẳng $AB, AC$ lần lượt là $5x-y-2=0, x-5y+14=0$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là trung điểm của $AD$, $M(\frac95;\frac85)$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BE$. Tính $OC$.

Question

Dạng 1. Phương trình đường thẳng Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, phương trình đường thẳng $AB, AC$ lần lượt là $5x-y-2=0, x-5y+14=0$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$, $E$ là trung điểm của $AD$, $M(\frac95;\frac85)$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên $BE$. Tính $OC$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/227d30dd1ea265b03663bba94e8f492b/F. BAI TAP NANG CAO/image764.png] Ta chứng minh $MA\perp MC$. Xét $	riangle MEA$ và $	riangle MDC$ có: Vì $\widehat{MDE}+\widehat{MDB}=\widehat{MBD}+\widehat{MDB}$ nên $\widehat{MDE}=\widehat{MBD}$, mà $\widehat{MDE}+\widehat{MDB}=\widehat{MBD}+\widehat{MED}=90^\circ$ nên $\widehat{MDB}=\widehat{MED}$. Vậy $\widehat{MEA}=\widehat{MDC}$. $\frac{ME}{EA}=\frac{ME}{ED}=\frac{MD}{DB}=\frac{MD}{DC}$. Suy ra $	riangle MEA\sim	riangle MDC\Rightarrow\widehat{MCD}=\widehat{MAD}$. Do đó tứ giác $AMDC$ nội tiếp $\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{ADC}=90^\circ$. Vậy $MA\perp MC$. Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ phương trình $\begin{cases}5x-y-2=0\x-5y+14=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\y=3\end{cases}\Rightarrow A(1;3)$. Khi đó phương trình $(MC)$ có VTPT $\vec n=(4;-7)\Rightarrow(MC):4x-7y+4=0$. Do đó tọa độ $C$ là nghiệm của hệ $\begin{cases}4x-7y+4=0\x-5y+14=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=6\y=4\end{cases}\Rightarrow C(6;4)\Rightarrow OC=\sqrt{52}$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng · Bài 36