Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 24
(THPT Lương Tài Số 2 2019) Biết rằng đường thẳng $y=2x+2m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ với mọi giá trị của tham số $m$. Tìm hoành độ trung điểm của $AB$?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và $d$ là:
$\frac{x^2+3}{x+1}=2x+2m$ $\Leftrightarrow x^2+2(1+m)x+2m-3=0$ $(1)$, ($x\neq-1$).
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta'=(1+m)^2-(2m-3)>0\\(-1)^2+2(1+m)(-1)+2m-3\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2+4>0,\ \forall m\\-4\neq0\end{array}\right.$.
Khi đó, gọi $A(x_1;2x_1+2m)$; $B(x_2;2x_2+2m)$.
Hoành độ trung điểm của $AB$ là $x_I=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2+2m}{2}=-m-1$.
$\frac{x^2+3}{x+1}=2x+2m$ $\Leftrightarrow x^2+2(1+m)x+2m-3=0$ $(1)$, ($x\neq-1$).
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ $\Leftrightarrow$ phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta'=(1+m)^2-(2m-3)>0\\(-1)^2+2(1+m)(-1)+2m-3\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2+4>0,\ \forall m\\-4\neq0\end{array}\right.$.
Khi đó, gọi $A(x_1;2x_1+2m)$; $B(x_2;2x_2+2m)$.
Hoành độ trung điểm của $AB$ là $x_I=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2+2m}{2}=-m-1$.