Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 23
(Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Có bao nhiêu giá trị của $m$ để đồ thị của hàm số $y=\frac{x}{1-x}$ cắt đường thẳng $y=x-m$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^\circ$ (với $O$ là gốc tọa độ)?
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{x}{1-x}=x-m\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x\neq1\\x^2-mx+m=0\quad(*)\end{array}\right.$.
Để có hai điểm phân biệt $A,B$ thì phương trình $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$
$\left\{\begin{array}{l}1-m+m\neq0\\m^2-4m>0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>4\\m<0\end{array}\right.$.
Khi đó phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m\end{array}\right.$.
Giả sử $A(x_1;x_1-m),B(x_2;x_2-m)$, suy ra: $\overrightarrow{OA}=(x_1;x_1-m),\overrightarrow{OB}=(x_2;x_2-m)$.
Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^\circ$ suy ra:
$\cos(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=\cos60^\circ\Leftrightarrow\frac{|x_1x_2+(x_1-m)(x_2-m)|}{\sqrt{x_1^2+(x_1-m)^2}\sqrt{x_2^2+(x_2-m)^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2|}{\sqrt{x_1^2x_2^2+(x_1x_2-mx_2)^2+x_1^2(x_2-m)^2+[(x_1-m)(x_2-m)]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2m-m^2+m^2|}{\sqrt{m^2+(m-mx_2)^2+(m-mx_1)^2+[x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2m|}{\sqrt{m^2+(m-mx_2)^2+(m-mx_1)^2+[m-m^2+m^2]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac2{\sqrt{2+(1-x_2)^2+(1-x_1)^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow2+(1-x_2)^2+(1-x_1)^2=16$.
$\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)=12$.
$\Leftrightarrow m^2-4m-12=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=6\\m=-2\end{array}\right.$.
Để có hai điểm phân biệt $A,B$ thì phương trình $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác $1$
$\left\{\begin{array}{l}1-m+m\neq0\\m^2-4m>0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>4\\m<0\end{array}\right.$.
Khi đó phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn:
$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m\end{array}\right.$.
Giả sử $A(x_1;x_1-m),B(x_2;x_2-m)$, suy ra: $\overrightarrow{OA}=(x_1;x_1-m),\overrightarrow{OB}=(x_2;x_2-m)$.
Theo giả thiết góc giữa hai đường thẳng $OA$ và $OB$ bằng $60^\circ$ suy ra:
$\cos(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})=\cos60^\circ\Leftrightarrow\frac{|x_1x_2+(x_1-m)(x_2-m)|}{\sqrt{x_1^2+(x_1-m)^2}\sqrt{x_2^2+(x_2-m)^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2|}{\sqrt{x_1^2x_2^2+(x_1x_2-mx_2)^2+x_1^2(x_2-m)^2+[(x_1-m)(x_2-m)]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2m-m^2+m^2|}{\sqrt{m^2+(m-mx_2)^2+(m-mx_1)^2+[x_1x_2-m(x_1+x_2)+m^2]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac{|2m|}{\sqrt{m^2+(m-mx_2)^2+(m-mx_1)^2+[m-m^2+m^2]^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow\frac2{\sqrt{2+(1-x_2)^2+(1-x_1)^2}}=\frac12$.
$\Leftrightarrow2+(1-x_2)^2+(1-x_1)^2=16$.
$\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2(x_1+x_2)=12$.
$\Leftrightarrow m^2-4m-12=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=6\\m=-2\end{array}\right.$.