Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 22
Tìm được trên đồ thị $(C):y=\frac{x^2+4x+5}{x+2}$ hai điểm $M(a;b)$ và $N(c;d)$ có khoảng cách đến đường thẳng $3x+y+6=0$ nhỏ nhất. Khi đó $a+b+c+d=?$
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M(x_0;y_0)\in(C)\Rightarrow M\left(x_0;\frac{x_0^2+4x_0+5}{x_0+2}\right)$.
Gọi $(d)$ là khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $3x+y+6=0$.
$d=\frac1{\sqrt{10}}\left|\frac{4x_0^2+16x_0+17}{x_0+2}\right|=\frac1{\sqrt{10}}\left|4(x_0+2)+\frac1{x_0+2}\right|\geq\frac4{\sqrt{10}}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow4|x_0+2|=\frac1{|x_0+2|}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=-\frac32\Rightarrow y_0=\frac52\\x_0=-\frac52\Rightarrow y_0=-\frac52\end{array}\right.$.
Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là $M_1\left(-\frac32;\frac52\right)$ và $M_2\left(-\frac52;-\frac52\right)$.
Gọi $(d)$ là khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $3x+y+6=0$.
$d=\frac1{\sqrt{10}}\left|\frac{4x_0^2+16x_0+17}{x_0+2}\right|=\frac1{\sqrt{10}}\left|4(x_0+2)+\frac1{x_0+2}\right|\geq\frac4{\sqrt{10}}$.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow4|x_0+2|=\frac1{|x_0+2|}\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x_0=-\frac32\Rightarrow y_0=\frac52\\x_0=-\frac52\Rightarrow y_0=-\frac52\end{array}\right.$.
Vậy có hai điểm thoả yêu cầu bài toán là $M_1\left(-\frac32;\frac52\right)$ và $M_2\left(-\frac52;-\frac52\right)$.