Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 25
Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+m^2-2m-4}{x-2}$ (1).
Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị cách đều đường thẳng $\Delta:2x+y+1=0$.
Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị cách đều đường thẳng $\Delta:2x+y+1=0$.
Xem lời giải
Lời giải
Đạo hàm: $y'=\frac{x^2-4x+4-m^2}{(x-2)^2}$.
Dấu của $y'$ là dấu của $g(x)=x^2-4x+4-m^2$.
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta'=4-4+m^2=m^2>0\\4-8+4-m^2\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow m\neq0$.
Nghiệm của $g(x)=0$ là $x_1=2-m$, $x_2=2+m$, suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(2-m;4-m)$, $B(2+m;4+3m)$.
$d(A,\Delta)=\frac{|9-3m|}{\sqrt5}$, $d(B,\Delta)=\frac{|9+5m|}{\sqrt5}$.
$d(A,\Delta)=d(B,\Delta)\Leftrightarrow|9-3m|=|9+5m|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}9-3m=9+5m\\9-3m=-9-5m\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\m=-9\end{array}\right.$.
So với điều kiện $m\neq0$ nhận $m=-9$.
Dấu của $y'$ là dấu của $g(x)=x^2-4x+4-m^2$.
Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}\Delta'=4-4+m^2=m^2>0\\4-8+4-m^2\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow m\neq0$.
Nghiệm của $g(x)=0$ là $x_1=2-m$, $x_2=2+m$, suy ra hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $A(2-m;4-m)$, $B(2+m;4+3m)$.
$d(A,\Delta)=\frac{|9-3m|}{\sqrt5}$, $d(B,\Delta)=\frac{|9+5m|}{\sqrt5}$.
$d(A,\Delta)=d(B,\Delta)\Leftrightarrow|9-3m|=|9+5m|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}9-3m=9+5m\\9-3m=-9-5m\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\m=-9\end{array}\right.$.
So với điều kiện $m\neq0$ nhận $m=-9$.