Từ một hộp chứa $ 12 $ quả cầu được đánh số từ $ 1 $ đến $ 12 $, chọn ra ngẫu nhiên $ 4 $ quả cầu.

Hộp có chứa $ 6 $ quả cầu đánh số chẵn và $ 6 $ quả cầu đanh số lẻ. Mỗi cách chọn ra $ 4 $ quả cầu bất kỳ là một tổ hợp chập $ 4 $ của $ 12 $. Vậy có $ { \rm{ C } }_{ 12 } ^{ 4 }=495 $ cách chọn. Do đó $ n\left ( { Ω } \right )=495 $. a) Sai. Gọi $ A $ là biến cố “Chọn ra $ 4 $ quả cầu được đánh số nguyên tố”. Ta có $ A=\left\{2;3;5;7;11\right\}⇒n\left ( { A } \right )=C_{ 5 } ^{ 4 } $. Do đó $ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { C_{ 5 } ^{ 4 } } { 495 }=\frac { 1 } { 99 } $. b) Đúng. Gọi $ B $ là biến cố “Chọn ra $ 4 $ quả cầu để tích các số trên các quả cầu là số chẵn”. Để $ 4 $ quả cầu lấy được có tích các số ghi trên chúng là số lẻ thì $ 4 $ quả cầu đó cùng mang số lẻ. Vậy số cách chọn ra $ 4 $ quả cầu để tích các số trên các quả cầu là số chẵn là $ 495-{ \rm{ C } }_{ 6 } ^{ 4 }=480 $ cách. Suy ra $ n\left ( { B } \right )=480⇒P\left ( { B } \right )=\frac { n\left ( { B } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 480 } { 495 }=\frac { 32 } { 33 } $. c) Sai. Gọi $ C $ là biến cố “chọn ra $ 4 $ quả cầu để tổng số trên các quả cầu là số chẵn”. Để tổng số trên các quả cầu là số chẵn, ta có các trường hợp Trường hợp 1: Bốn quả cầu chọn ra đều mang số chẵn, có $ { \rm{ C } }_{ 6 } ^{ 4 }=15 $ khả năng. Trường hợp 2: Bốn quả cầu chọn ra đều mang số lẻ, có $ { \rm{ C } }_{ 6 } ^{ 4 }=15 $ khả năng. Trường hợp 3: Bốn quả chọn ra có $ 2 $ quả mang số chẵn và $ 2 $ quả mang số lẻ. Trường hợp này có $ { \rm{ C } }_{ 6 } ^{ 2 }⋅{ \rm{ C } }_{ 6 } ^{ 2 }=225 $ khả năng. Vậy có $ 15+15+225=255 $ (cách chọn). Do đó $ n\left ( { C } \right )=255⇒P=\frac { n\left ( { C } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 255 } { 495 }=\frac { 17 } { 33 } $. d) Đúng. Gọi $ D $ là biến cố “Chọn ra $ 4 $ quả cầu sao cho tổng bình phương các số trên các quả cầu là số chẵn”. Vì bình phương của một số không làm thay đổi tính chẵn lẻ, nên để tổng bình phương các số là số chẵn thì tổng các số là số chẵn. Vậy có $ 255 $ cách chọn. Do đó $ n\left ( { D } \right )=255⇒P=\frac { n\left ( { D } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 255 } { 495 }=\frac { 17 } { 33 } $.