Bài tự luận · Bài 31
Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$.
Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 31
Cho ba điểm $A(2;2);B(3;5),C(5;5)$.
a. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
c. Giải tam giác $ABC$.
a. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.
b. Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành.
c. Giải tam giác $ABC$.
Xem lời giải
Lời giải
a. Xét $D(x;y)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(1;3);\overrightarrow{DC}=(5-x;5-y)$
Để $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5-x=1\\5-y=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=2\end{array}\right.$
Vậy $D(4;2)$
b. Gọi $M$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{x_A+x_C}{2}\\y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{2+5}{2}\\y_M=\frac{2+5}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{7}{2}\\y_M=\frac{7}{2}\end{array}\right.$
Vậy $M\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$
c. Ta có: $\overrightarrow{AC}=(3;3),\overrightarrow{BC}=(2;0)$
Suy ra: $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$
$AC=\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}\quad BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=2\quad\cos A=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{1\cdot3+3\cdot3}{\sqrt{10}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\widehat A\approx26^{\circ}34'\quad\cos B=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\frac{(-1)\cdot2+(-3)\cdot0}{\sqrt{10}\cdot2}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\Rightarrow\widehat B\approx108^{\circ}26'$
$\cos C=\cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB}=\frac{(-3)\cdot(-2)+(-3)\cdot0}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat C=45^{\circ}$
Để $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5-x=1\\5-y=3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=4\\y=2\end{array}\right.$
Vậy $D(4;2)$
b. Gọi $M$ là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$.
$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{x_A+x_C}{2}\\y_M=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{2+5}{2}\\y_M=\frac{2+5}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_M=\frac{7}{2}\\y_M=\frac{7}{2}\end{array}\right.$
Vậy $M\left(\frac{7}{2};\frac{7}{2}\right)$
c. Ta có: $\overrightarrow{AC}=(3;3),\overrightarrow{BC}=(2;0)$
Suy ra: $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$
$AC=\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}\quad BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}}=2\quad\cos A=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{1\cdot3+3\cdot3}{\sqrt{10}\cdot3\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\widehat A\approx26^{\circ}34'\quad\cos B=\cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{BA\cdot BC}=\frac{(-1)\cdot2+(-3)\cdot0}{\sqrt{10}\cdot2}=-\frac{\sqrt{10}}{10}\Rightarrow\widehat B\approx108^{\circ}26'$
$\cos C=\cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{CA\cdot CB}=\frac{(-3)\cdot(-2)+(-3)\cdot0}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\widehat C=45^{\circ}$