Cho tam giác $ABC$ có các điểm $M(2;2),N(3;4),P(5;3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$ và $CA$.
a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$.
b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác $ABC$ và $MNP$ trùng nhau.
c. Giải tam giác $ABC$

Question

Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$. Nếu $M(x_M;y_M)$ là trung điểm đoạn thẳng $AB$ thì $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2};y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$. -Cho tam giác $ABC$ có $A(x_A;y_A),B(x_B;y_B),C(x_C;y_C)$. Nếu $G(x_G;y_G)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}$. Cho tam giác $ABC$ có các điểm $M(2;2),N(3;4),P(5;3)$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC$ và $CA$. a. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$. b. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác $ABC$ và $MNP$ trùng nhau. c. Giải tam giác $ABC$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/10-17. TOA DO VECTO/B. BAI TAP TU LUAN/image410.png] a. $\overrightarrow{MP}=(3;1),\overrightarrow{BN}=(3-x_B;4-y_B)$ Có $M$ là trung điểm cạnh $AB,P$ là trung điểm cạnh $AC$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow MP\parallel BC; MP=\frac{1}{2}BC=BN\Rightarrow MPNB$ (hbh) $\Rightarrow\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BN}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}3=3-x_B\1=4-y_B\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B=0\y_B=3\end{array}ight.\Rightarrow B(0;3)$ Ta có: $N$ là trung điểm của $BC$ nên $\left\{\begin{array}{l}x_C=2x_N-x_B\y_C=2y_N-y_B\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=2\cdot3-0\y_C=2\cdot4-3\end{array}ight.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_C=6\y_C=5\end{array}ight.\Rightarrow C(6;5)$ Ta có: $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\left\{\begin{array}{l}x_A=2x_M-x_B\y_A=2y_M-y_B\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A=2\cdot2-0\y_A=2\cdot2-3\end{array}ight.$ $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_A=4\y_A=1\end{array}ight.\Rightarrow A(4;1)$ Vậy $A(4;1),B(0;3),C(6;5)$ b. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_G=\frac{4+0+6}{3}\y_G=\frac{1+3+5}{3}\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_G=\frac{10}{3}\y_G=3\end{array}ight.\Rightarrow G\left(\frac{10}{3};3ight)$ Gọi $G'$ là trọng tâm tam giác $MNP$, ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_{G'}=\frac{x_M+x_N+x_P}{3}\y_{G'}=\frac{y_M+y_N+y_P}{3}\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{G'}=\frac{2+3+5}{3}\y_{G'}=\frac{2+4+3}{3}\end{array}ight.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_{G'}=\frac{10}{3}\y_{G'}=3\end{array}ight.\Rightarrow G'\left(\frac{10}{3};3ight)$ Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow G\equiv G'$ Vậy trọng tâm tam giác $ABC$ trùng với trọng tâm tam giác $MNP$. c. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;2);\overrightarrow{AC}=(2;4);\overrightarrow{BC}=(6;2)$ Suy ra: $AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-4)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5}$ $AC=\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2\sqrt{5}\quad BC=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2\sqrt{10}\quad\cos A=\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\cdot AC}=\frac{(-4)\cdot2+2\cdot4}{2\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}}=0\Rightarrow\widehat A=90^{\circ}$ Xét tam giác $ABC$ có $AB=AC(=2\sqrt{5})$ và $\widehat A=90^{\circ}$ $\Rightarrow$ Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A\Rightarrow\widehat B=\widehat C=45^{\circ}$

Bài tự luận Vectơ trong mặt phẳng tọa độ · Bài 32