Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 8
(THPT Ba Đình 2019) Cho hàm số $y=x^3+3mx^2-m^3$ có đồ thị $(C_m)$ và đường thẳng $d:y=m^2x+2m^3$. Biết rằng $m_1,m_2$ $(m_1>m_2)$ là hai giá trị thực của $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C_m)$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ thỏa mãn $x_1^4+x_2^4+x_3^4=83$. Tính $m_1+m_2$?
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C_m)$
$x^3+3mx^2-m^3=m^2x+2m^3$
$\Leftrightarrow x^3+3mx^2-m^2x-3m^3=0$
$\Leftrightarrow(x^3-m^2x)+(3mx^2-3m^3)=0$
$\Leftrightarrow x(x^2-m^2)+3m(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow(x+3m)(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3m\\x=m\\x=-m\end{array}\right.$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C_m)$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ $\Leftrightarrow m\ne0$.
Khi đó, $x_1^4+x_2^4+x_3^4=83\Leftrightarrow m^4+(-m)^4+(-3m)^4=83$
$\Leftrightarrow83m^4=83\Leftrightarrow m=\pm1$
Vậy $m_1=1,m_2=-1$ hay $m_1+m_2=0$.
$x^3+3mx^2-m^3=m^2x+2m^3$
$\Leftrightarrow x^3+3mx^2-m^2x-3m^3=0$
$\Leftrightarrow(x^3-m^2x)+(3mx^2-3m^3)=0$
$\Leftrightarrow x(x^2-m^2)+3m(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow(x+3m)(x^2-m^2)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-3m\\x=m\\x=-m\end{array}\right.$
Để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C_m)$ tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ $\Leftrightarrow m\ne0$.
Khi đó, $x_1^4+x_2^4+x_3^4=83\Leftrightarrow m^4+(-m)^4+(-3m)^4=83$
$\Leftrightarrow83m^4=83\Leftrightarrow m=\pm1$
Vậy $m_1=1,m_2=-1$ hay $m_1+m_2=0$.