Cho tứ giác $ ABCD $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $, $ I $ là điểm trên $ GC $ sao cho $ IC=3IG $. Với mọi điểm $ M $ ta luôn có $ \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MC }+\overset\rightarrow { MD }=k.\overset\rightarrow { MI } $. Tìm $ k $.

Ta có: $ 3\overset\rightarrow { IG }=-\overset\rightarrow { IC } $. Do $ G $ là trọng tâm của tam giác $ ABD $ nên $ \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { ID }=3\overset\rightarrow { IG }⇔\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { ID }=-\overset\rightarrow { IC }⇔\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { ID }=\overset\rightarrow { 0 } $ Khi đó: $ \overset\rightarrow { MA }+\overset\rightarrow { MB }+\overset\rightarrow { MC }+\overset\rightarrow { MD }=\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { ID } $ $ =4\overset\rightarrow { MI }+(\overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { IB }+\overset\rightarrow { IC }+\overset\rightarrow { ID })=4\overset\rightarrow { MI }+\overset\rightarrow { 0 }=4\overset\rightarrow { MI } $