Bài tự luận · Bài 18
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 18
Một tổ có 10 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh. Gọi $ X $ là số học sinh nam trong 3 học sinh được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của $ X $.
Xem lời giải
Lời giải
Các giá trị có thể của $ X $ thuộc tập $ \{0;1;2;3\} $. Tiếp theo ta cần tính $ P(X=0),P(X=1),P(X=2) $ và $ P(X=3) $. Số kết quả có thể là $ C_{ 16 } ^{ 3 }=560 $.
* Biến cố $ \{X=0\} $ là biến cố: "Chọn được 3 HS nữ".
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=0\} $ là $ C_{ 6 } ^{ 3 }=20 $.
Vậy $ P(X=0)=\frac { 20 } { 560 }=\frac { 2 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=1\} $ là biến cố: "Chọn được 1 HS nam và 2 HS nữ". Có $ C_{ 10 } ^{ 1 }=10 $ cách chọn 1 HS nam trong 10 HS nam và $ C_{ 6 } ^{ 2 }=15 $ cách chọn 2 HS nử trong 6 HS nư. Theo quy tắc nhân ta có $ 10\cdot 15=150 $ cách chọn 1 HS nam và 2 HS nử. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=1\} $ là 150. Do đó $ P(X=1)=\frac { 150 } { 560 }=\frac { 15 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=2\} $ là biến cố: "Chọn được 2 HS nam và 1 HS nư". Có $ C_{ 10 } ^{ 2 }=45 $ cách chọn 2 HS nam trong 10 HS nam và $ C_{ 6 } ^{ 1 }=6 $ cách chọn 1 HS nư trong 6 HS nư. Theo quy tắc nhân ta có $ 45\cdot 6=270 $ cách chọn 2 HS nam và 1 HS nữ. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=2\} $ là 270. Do đó $ P(X=2)=\frac { 270 } { 560 }=\frac { 27 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=3\} $ là biến cố: "Chọn được 3 HS nam". Số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=3\} $ là $ C_{ 10 } ^{ 3 }=120 $.
Do đó $ P(X=3)=\frac { 120 } { 560 }=\frac { 12 } { 56 } $.
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ $ \frac { 2 } { 56 } $ $ \frac { 15 } { 56 } $ $ \frac { 27 } { 56 } $ $ \frac { 12 } { 56 } $
* Biến cố $ \{X=0\} $ là biến cố: "Chọn được 3 HS nữ".
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=0\} $ là $ C_{ 6 } ^{ 3 }=20 $.
Vậy $ P(X=0)=\frac { 20 } { 560 }=\frac { 2 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=1\} $ là biến cố: "Chọn được 1 HS nam và 2 HS nữ". Có $ C_{ 10 } ^{ 1 }=10 $ cách chọn 1 HS nam trong 10 HS nam và $ C_{ 6 } ^{ 2 }=15 $ cách chọn 2 HS nử trong 6 HS nư. Theo quy tắc nhân ta có $ 10\cdot 15=150 $ cách chọn 1 HS nam và 2 HS nử. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=1\} $ là 150. Do đó $ P(X=1)=\frac { 150 } { 560 }=\frac { 15 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=2\} $ là biến cố: "Chọn được 2 HS nam và 1 HS nư". Có $ C_{ 10 } ^{ 2 }=45 $ cách chọn 2 HS nam trong 10 HS nam và $ C_{ 6 } ^{ 1 }=6 $ cách chọn 1 HS nư trong 6 HS nư. Theo quy tắc nhân ta có $ 45\cdot 6=270 $ cách chọn 2 HS nam và 1 HS nữ. Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=2\} $ là 270. Do đó $ P(X=2)=\frac { 270 } { 560 }=\frac { 27 } { 56 } $.
* Biến cố $ \{X=3\} $ là biến cố: "Chọn được 3 HS nam". Số kết quả thuận lợi cho biến cố $ \{X=3\} $ là $ C_{ 10 } ^{ 3 }=120 $.
Do đó $ P(X=3)=\frac { 120 } { 560 }=\frac { 12 } { 56 } $.
Vậy bảng phân bố xác suất của $ X $ là:
$ X $ 0 1 2 3
$ P $ $ \frac { 2 } { 56 } $ $ \frac { 15 } { 56 } $ $ \frac { 27 } { 56 } $ $ \frac { 12 } { 56 } $