Một doanh nghiệp tư nhân $A$ chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là 27 triệu đồng/chiếc và giá bán ra là 31 triệu đồng/chiếc. Với giá bán này thì số lượng xe bán ra mỗi năm là 600 chiếc. Nhằm tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Ước tính rằng cứ giảm 1 triệu đồng/chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $x$ (đơn vị triệu đồng) là số tiền giảm giá cho mỗi chiếc xe máy, $x\geq0$. Khi đó số tiền thu được khi bán một chiếc xe máy là $31-x-27=4-x$ (triệu đồng). Số lượng xe máy bán ra là: $600+200x$. Hàm chi phí cho $600+200x$ xe máy là $(600+200x)\cdot27$ (triệu đồng). Hàm doanh thu cho $600+200x$ xe máy là $(600+200x)(31-x)$ (triệu đồng). Khi đó lợi nhuận thu được là $P(x)=(31-x)(600+200x)-27(600+200x)=(4-x)(600+200x)=2400+200x-200x^2$ (triệu đồng). Để tối đa hoá lợi nhuận, thì ta phải tìm giá trị lớn nhất của hàm $P(x)$ với $x\geq0$. Ta có $P'(x)=200-400x=0$ khi $x=\frac{1}{2}$. Sử dụng quy tắc xét dấu đạo hàm bậc nhất của hàm số, ta thấy $P\left(\frac{1}{2}\right)=2450$ (triệu đồng) là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi $x=0,5$. Tức là mỗi chiếc xe máy nên giảm giá 500 nghìn đồng. Vậy giá bán mới nên là 30,5 triệu đồng thì doanh nghiệp sẽ thu được nhiều lợi nhuận nhất.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 20