Bài tự luận · Bài 41
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 41
(CD12) Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $ v(t)=-0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $ , trong đó $ t $ tính theo tuần, $ v(t) $ tính bằng centimét/tuần. Gọi $ h(t) $ (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ $ t $ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
a) Viết công thức xác định hàm số $ h(t)(t\geq 0) $ .
b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?
c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu centimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
a) Viết công thức xác định hàm số $ h(t)(t\geq 0) $ .
b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?
c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu centimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ \int { \left ( { -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } } \right ) }dt=\int { - }0,1t ^ { 3 } dt+\int { t ^ { 2 } } dt=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+C $ .
Do $ h(t) $ là một nguyên hàm của $ v(t) $ nên $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+C $ Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên $ h(0)=5 $ , suy ra $ C=5 $ .
Vậy $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+5,t\geq 0 $ .
b) Cây tăng trưởng khi $ v(t)>0 $ . Xét bất phương trình $ -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } >0 $ .
Ta có: $ t ^ { 2 } (-0,1t+1)>0 $ , suy ra $ -0,1t+1>0 $ nên $ t < 10 $ .
Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây kéo dài 10 tuần.
c) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+5 $ với $ t\in [0;10] $ .
Ta có: $ h ^ { ′ } (t)=\frac { -t ^ { 3 } } { 10 }+t ^ { 2 } =\frac { t ^ { 2 } } { 10 }(-t+10) $ , suy ra $ h ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0 hoặc 10.
Ta thấy $ h(0)=5,h(10)=\frac { 265 } { 3 } $ . Khi đó, $ h(t) $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ \frac { 265 } { 3 } $ trên đoạn $ [0;10] $ .
Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $ \frac { 265 } { 3 }\approx 88,3 $ (cm).
d) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ v(t)=-0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $ với $ t\in [0;10] $ .
Ta có: $ v ^ { ′ } (t)=-0,3t ^ { 2 } +2t=-0,3t\left ( { t-\frac { 20 } { 3 } } \right ) $ , suy ra $ v ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0 hoặc $ \frac { 20 } { 3 } $ .
Ta thấy $ v(0)=0,v\left ( { \frac { 20 } { 3 } } \right )=\frac { 400 } { 27 },v(10)=0 $ . Khi đó, $ v(t) $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ \frac { 400 } { 27 } $ trên đoạn $ [0;10] $ tại $ t=\frac { 20 } { 3 } $ . Ta có: $ h\left ( { \frac { 20 } { 3 } } \right )=\frac { 4405 } { 81 }\approx 54,4 $ .
Vậy vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao $ 54,4 cm $ .
Do $ h(t) $ là một nguyên hàm của $ v(t) $ nên $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+C $ Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên $ h(0)=5 $ , suy ra $ C=5 $ .
Vậy $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+5,t\geq 0 $ .
b) Cây tăng trưởng khi $ v(t)>0 $ . Xét bất phương trình $ -0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } >0 $ .
Ta có: $ t ^ { 2 } (-0,1t+1)>0 $ , suy ra $ -0,1t+1>0 $ nên $ t < 10 $ .
Vậy giai đoạn tăng trưởng của cây kéo dài 10 tuần.
c) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của $ h(t)=\frac { -t ^ { 4 } } { 40 }+\frac { t ^ { 3 } } { 3 }+5 $ với $ t\in [0;10] $ .
Ta có: $ h ^ { ′ } (t)=\frac { -t ^ { 3 } } { 10 }+t ^ { 2 } =\frac { t ^ { 2 } } { 10 }(-t+10) $ , suy ra $ h ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0 hoặc 10.
Ta thấy $ h(0)=5,h(10)=\frac { 265 } { 3 } $ . Khi đó, $ h(t) $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ \frac { 265 } { 3 } $ trên đoạn $ [0;10] $ .
Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $ \frac { 265 } { 3 }\approx 88,3 $ (cm).
d) Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ v(t)=-0,1t ^ { 3 } +t ^ { 2 } $ với $ t\in [0;10] $ .
Ta có: $ v ^ { ′ } (t)=-0,3t ^ { 2 } +2t=-0,3t\left ( { t-\frac { 20 } { 3 } } \right ) $ , suy ra $ v ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0 hoặc $ \frac { 20 } { 3 } $ .
Ta thấy $ v(0)=0,v\left ( { \frac { 20 } { 3 } } \right )=\frac { 400 } { 27 },v(10)=0 $ . Khi đó, $ v(t) $ đạt giá trị lớn nhất bằng $ \frac { 400 } { 27 } $ trên đoạn $ [0;10] $ tại $ t=\frac { 20 } { 3 } $ . Ta có: $ h\left ( { \frac { 20 } { 3 } } \right )=\frac { 4405 } { 81 }\approx 54,4 $ .
Vậy vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao $ 54,4 cm $ .