Bài tự luận · Bài 40
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 40
(CD12) Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số $ B ^ { ′ } (t)=20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t $ , trong đó $ t $ tính bằng giờ $ (0\leq t\leq 15) $ , $ B ^ { ′ } (t) $ tính bằng khách/giờ.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số $ B(t) $ biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với $ 0\leq t\leq 15 $ .
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.
a) Viết công thức của hàm số $ B(t) $ biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với $ 0\leq t\leq 15 $ .
b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?
c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?
d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ B(t) $ là một nguyên hàm của hàm số $ B ^ { ′ } (t)=20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t $ .
Do $ \int { \left ( { 20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t } \right ) }dt=5\int { 4 }t ^ { 3 } dt-100\int { 3 }t ^ { 2 } dt+500\int { 2 }t dt $ $ =5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +C $ nên $ B(t)=5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +C $ .
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên $ B(1)=405+C=500 $ .
Suy ra $ C=95 $ . Vậy $ B(t)=5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +95 $ với $ 0\leq t\leq 15 $ .
b) Số khách tham dự lễ hội sau 3 giờ là: $ B(3)=5\cdot 3 ^ { 4 } -100\cdot 3 ^ { 3 } +500\cdot 3 ^ { 2 } +95=2300{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ á } }{ \rm{ c } }{ \rm{ h } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ c) Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ B(t) $ trên đoạn $ [0;15] $ . Ta có: $ B ^ { ′ } (t)=20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t=20t\left ( { t ^ { 2 } -15t+50 } \right )=20t(t-5)(t-10). $ Suy ra $ B ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0,5 hoặc 10.
Ta có: $ B(0)=95,B(5)=3220,B(10)=95,B(15)=28220 $ .
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $ B(t) $ trên đoạn $ [0;15] $ bằng 28220 tại $ t=15 $ .
Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ.
d) Ta tìm $ t $ để hàm số $ B ^ { ′ } (t) $ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $ [0;15] $ . Ta có: $ B ^ { ′′ } (t)=60t ^ { 2 } -600t+1000 $ . Suy ra $ B ^ { ′′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng $ \frac { 15-5\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ hoặc $ \frac { 15+5\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ .
Ta có: $ B ^ { ′ } (0)=0;B ^ { ′ } \left ( { \frac { 15-5\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )\approx 962,25;B ^ { ′ } \left ( { \frac { 15+5\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )\approx -962,25 $ ; $ B ^ { ′ } (15)=15000 $ .
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $ B ^ { ′ } (t) $ trên đoạn $ [0;15] $ bằng 15000 tại $ t=15 $ . Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất tại thời điểm 15 giờ.
Do $ \int { \left ( { 20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t } \right ) }dt=5\int { 4 }t ^ { 3 } dt-100\int { 3 }t ^ { 2 } dt+500\int { 2 }t dt $ $ =5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +C $ nên $ B(t)=5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +C $ .
Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên $ B(1)=405+C=500 $ .
Suy ra $ C=95 $ . Vậy $ B(t)=5t ^ { 4 } -100t ^ { 3 } +500t ^ { 2 } +95 $ với $ 0\leq t\leq 15 $ .
b) Số khách tham dự lễ hội sau 3 giờ là: $ B(3)=5\cdot 3 ^ { 4 } -100\cdot 3 ^ { 3 } +500\cdot 3 ^ { 2 } +95=2300{ \rm{ } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ k } }{ \rm{ h } }{ \rm{ á } }{ \rm{ c } }{ \rm{ h } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ c) Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số $ B(t) $ trên đoạn $ [0;15] $ . Ta có: $ B ^ { ′ } (t)=20t ^ { 3 } -300t ^ { 2 } +1000t=20t\left ( { t ^ { 2 } -15t+50 } \right )=20t(t-5)(t-10). $ Suy ra $ B ^ { ′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng 0,5 hoặc 10.
Ta có: $ B(0)=95,B(5)=3220,B(10)=95,B(15)=28220 $ .
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $ B(t) $ trên đoạn $ [0;15] $ bằng 28220 tại $ t=15 $ .
Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28220 khách sau 15 giờ.
d) Ta tìm $ t $ để hàm số $ B ^ { ′ } (t) $ đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $ [0;15] $ . Ta có: $ B ^ { ′′ } (t)=60t ^ { 2 } -600t+1000 $ . Suy ra $ B ^ { ′′ } (t)=0 $ khi $ t $ bằng $ \frac { 15-5\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ hoặc $ \frac { 15+5\sqrt[] { 3 } } { 3 } $ .
Ta có: $ B ^ { ′ } (0)=0;B ^ { ′ } \left ( { \frac { 15-5\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )\approx 962,25;B ^ { ′ } \left ( { \frac { 15+5\sqrt[] { 3 } } { 3 } } \right )\approx -962,25 $ ; $ B ^ { ′ } (15)=15000 $ .
Khi đó, giá trị lớn nhất của hàm số $ B ^ { ′ } (t) $ trên đoạn $ [0;15] $ bằng 15000 tại $ t=15 $ . Vậy tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất tại thời điểm 15 giờ.