Bài tự luận · Bài 42
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 42
(CD12) Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $ P(t) $ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $ t $ , trong đó $ t $ tính theo ngày $ (0\leq t\leq 10) $ . Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $ P ^ { ′ } (t)=k\sqrt[] { t } $ , trong đó $ k $ là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn.
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là bao nhiêu con?
(Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014).
Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là bao nhiêu con?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ \int { k }\sqrt[] { t } dt=k\int { \sqrt[] { t } } dt=k\int { t ^ { \frac { 1 } { 2 } } } dt=\frac { 2k } { 3 }t ^ { \frac { 3 } { 2 } } +C $ .
Vì $ P ^ { ′ } (t)=k\sqrt[] { t } $ nên $ P(t) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(t)=k\sqrt[] { t } $ , suy ra $ P(t)=\frac { 2k } { 3 }t ^ { \frac { 3 } { 2 } } +C=\frac { 2k } { 3 }\sqrt[] { t ^ { 3 } }+C(0\leq t\leq 10). $ Do quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên $ P(0)=500 $ , suy ra $ P(t)=\frac { 2k } { 3 }\sqrt[] { t ^ { 3 } }+500{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, suy ra $ \frac { 2k } { 3 }\cdot \sqrt[] { 1 ^ { 3 } }+500=600\Leftrightarrow k=150{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Từ đó, ta có: $ P(t)=100\sqrt[] { t ^ { 3 } }+500(0\leq t\leq 10) $ .
Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là $ P(7)=100\cdot \sqrt[] { 7 ^ { 3 } }+500\approx 2352 $ (vi khuẩn).
Vì $ P ^ { ′ } (t)=k\sqrt[] { t } $ nên $ P(t) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(t)=k\sqrt[] { t } $ , suy ra $ P(t)=\frac { 2k } { 3 }t ^ { \frac { 3 } { 2 } } +C=\frac { 2k } { 3 }\sqrt[] { t ^ { 3 } }+C(0\leq t\leq 10). $ Do quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên $ P(0)=500 $ , suy ra $ P(t)=\frac { 2k } { 3 }\sqrt[] { t ^ { 3 } }+500{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, suy ra $ \frac { 2k } { 3 }\cdot \sqrt[] { 1 ^ { 3 } }+500=600\Leftrightarrow k=150{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Từ đó, ta có: $ P(t)=100\sqrt[] { t ^ { 3 } }+500(0\leq t\leq 10) $ .
Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là $ P(7)=100\cdot \sqrt[] { 7 ^ { 3 } }+500\approx 2352 $ (vi khuẩn).