Bài tự luận · Bài 43
Dạng 2. Ứng dụng
Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 43
(KNTT12) Trong Vật lí, chu kì bán rã $ T_{ \frac { 1 } { 2 } } $ của một chất phóng xạ là thời gian để một nửa lượng chất phóng xạ đó phân rã và biến đổi thành chất khác. Giả sử tốc độ phân rã của một chất phóng xạ được cho bởi $ N ^ { ′ } (t)=-\lambda N_{ 0 } e ^ { -\lambda t } $ , trong đó $ N_{ 0 } $ là lượng chất phóng xạ ban đầu tại $ t=0 $ và $ \lambda >0 $ là hằng số (hằng số phân rã). Tìm chu kì bán rã $ T_{ \frac { 1 } { 2 } } $ .
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $ N(t)=\int(-\lambda N_0e^{-\lambda t})\,dt=-\lambda N_0\cdot\frac{e^{-\lambda t}}{-\lambda}+C=N_0e^{-\lambda t}+C $ .
Thay $ t=0 $ ta được $ N(0)=N_0+C=N_0 $ suy ra $ C=0 $ và $ N(t)=N_0e^{-\lambda t} $ .
Khi $ t=T_{\frac12} $ thì $ N(t)=\frac{N_0}{2} $ . Do đó:
$ N_0e^{-\lambda T_{\frac12}}=\frac{N_0}{2}\Leftrightarrow e^{-\lambda T_{\frac12}}=\frac12\Leftrightarrow T_{\frac12}=\frac{\ln2}{\lambda} $ .
Vậy chu kì bán rã của chất phóng xạ đó là $ T_{\frac12}=\frac{\ln2}{\lambda} $ .
Thay $ t=0 $ ta được $ N(0)=N_0+C=N_0 $ suy ra $ C=0 $ và $ N(t)=N_0e^{-\lambda t} $ .
Khi $ t=T_{\frac12} $ thì $ N(t)=\frac{N_0}{2} $ . Do đó:
$ N_0e^{-\lambda T_{\frac12}}=\frac{N_0}{2}\Leftrightarrow e^{-\lambda T_{\frac12}}=\frac12\Leftrightarrow T_{\frac12}=\frac{\ln2}{\lambda} $ .
Vậy chu kì bán rã của chất phóng xạ đó là $ T_{\frac12}=\frac{\ln2}{\lambda} $ .