Bài tự luận · Bài 45
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 45
Giả sử chi phí trung bình sản xuất một sản phẩm (còn gọi là hàm chi phí bình quân) của một công ty trong một ngày là $c(x)=2x^2-36x+210-\frac{200}{x}$ (USD/sản phẩm)
với $x$ ($x\geq 1$) là số lượng sản phẩm được sản xuất (còn gọi là mức sản xuất) mỗi ngày. Tìm mức sản xuất để tổng chi phí trong một ngày của công ty là nhỏ nhất, biết rằng công ty muốn sản xuất ít nhất 5 sản phẩm và nhiều nhất 30 sản phẩm mỗi ngày.
với $x$ ($x\geq 1$) là số lượng sản phẩm được sản xuất (còn gọi là mức sản xuất) mỗi ngày. Tìm mức sản xuất để tổng chi phí trong một ngày của công ty là nhỏ nhất, biết rằng công ty muốn sản xuất ít nhất 5 sản phẩm và nhiều nhất 30 sản phẩm mỗi ngày.
Xem lời giải
Lời giải
Theo giả thiết, ta có tổng chi phí trong một ngày của công ty là: $C(x)=x\cdot c(x)=x\left(2x^2-36x+210-\frac{200}{x}\right)=2x^3-36x^2+210x-200$ (USD).
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí $C(x)$ khi $x$ thuộc đoạn $[5;30]$.
Vì $C'(x)=6x^2-72x+210$ nên $C'(x)=0\Leftrightarrow 6x^2-72x+210=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=5\\x=7\end{array}\right.$.
Ta có $C(5)=200; C(7)=192; C(30)=27700$.
Do đó $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=7$ trên $[5;30]$.
Vậy công ty nên sản xuất 7 sản phẩm để tổng chi phí trong một ngày là nhỏ nhất.
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí $C(x)$ khi $x$ thuộc đoạn $[5;30]$.
Vì $C'(x)=6x^2-72x+210$ nên $C'(x)=0\Leftrightarrow 6x^2-72x+210=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=5\\x=7\end{array}\right.$.
Ta có $C(5)=200; C(7)=192; C(30)=27700$.
Do đó $C(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=7$ trên $[5;30]$.
Vậy công ty nên sản xuất 7 sản phẩm để tổng chi phí trong một ngày là nhỏ nhất.