Bài tự luận · Bài 9
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 9
Cho tứ diện $ OABC $ có $ OA,OB,OC $ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $ H $ là hình chiếu của điểm $ O $ trên mặt phẳng $ (ABC) $. Chứng minh rằng:
a) $ BC\perp(OAH) $.
b) $ H $ là trực tâm của $ \Delta ABC $.
c) $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } $.
a) $ BC\perp(OAH) $.
b) $ H $ là trực tâm của $ \Delta ABC $.
c) $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ BC\perp OH,BC\perp OA $, suy ra $ BC\perp(OAH) $.
b) Gọi $ E=AH\cap BC,F=BH\cap AC $.
Theo câu a ta có:
$ BC\perp(AOH)\Rightarrow BC\perp AH\Rightarrow BC\perp AE $. (1)
Chứng minh tương tự ta có:
$ AC\perp(BOH)\Rightarrow AC\perp BF $. (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow H $ là trực tâm tam giác $ ABC $.
c) Tam giác vuông $ AOE $ có: $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OE ^ { 2 } } $.(3)
Tam giác vuông $ BOC $ có: $ \frac { 1 } { OE ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } $. (4)
Thay (4) vào (3) ta được $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OC ^ { 2 } } $.