Bài tự luận · Bài 10
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 10
Cho tứ diện $ ABCD $ có hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (ABD) $ cùng vuông góc với $ (DBC) $. Vẽ các đường cao $ BE,DF $ của tam giác $ BCD $, đường cao $ DK $ của tam giác $ ACD $.
a) Chứng minh hai mặt phẳng $ (ABE) $ và $ (DFK) $ cùng vuông góc với $ (ADC) $.
b) Gọi $ O $ và $ H $ là trực tâm $ \Delta BCD $ và $ \Delta ACD $. Chứng minh $ OH $ vuông góc với $ (ADC) $.
a) Chứng minh hai mặt phẳng $ (ABE) $ và $ (DFK) $ cùng vuông góc với $ (ADC) $.
b) Gọi $ O $ và $ H $ là trực tâm $ \Delta BCD $ và $ \Delta ACD $. Chứng minh $ OH $ vuông góc với $ (ADC) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $ (ABC)\cap(ABD)=AB $,
$ (ABC)\perp(DBC),(ABD)\perp(DBC) $,
Suy ra $ AB\perp(DBC) $.
Ta có: $ CD\perp BE,CD\perp AB\Rightarrow CD\perp(ABE) $.
Mà $ CD\subset(ACD) $ nên $ (ADC)\perp(ABE) $.(1)
Ta lại có: $ DF\perp BC,DF\perp AB\Rightarrow DF\perp(ABC) $ $ \Rightarrow DF\perp AC $.
Mặt khác $ DK\perp AC $ nên $ AC\perp(DFK) $.
Mà $ AC\subset(ACD) $ nên $ (ADC)\perp(DFK) $.(2)
Từ (1) và (2) suy ra $ (ABE) $ và $ (DFK) $ cùng vuông góc với $ (ADC) $.
b) Ta có $ O $ là giao điểm của hai đường cao $ BE $ và $ DF,H $ là giao điểm của hai đường cao $ AE $ và $ DK $.
Ta có: $ (ABE)\perp(ADC),(DFK)\perp(ADC) $ và $ (ABE)\cap(DFK)=OH $ $ \Rightarrow OH\perp(ADC) $.