Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 11

Áp dụng định lí cô\sin trong $ \Delta AHC $:
$ CH ^ { 2 }=AC ^ { 2 }+AH ^ { 2 }-2AC\cdot AH\cdot \cos\widehat { CAH }=a ^ { 2 }+\left ( { \frac { 2a } { 3 } } \right ) ^ { 2 }-2a\cdot\frac { 2a } { 3 }\cdot \cos60 ^ { \circ }=\frac { 7a ^ { 2 } } { 9 }\Rightarrow CH=\frac { a\sqrt { 7 } } { 3 } $.
Ta có: $ SH\perp(ABC)\Rightarrow HC $ là hình chiếu vuông góc của $ SC $ trên mặt phẳng $ (ABC) $.
Suy ra $ (SC,(ABC))=(SC,HC)=\widehat { SCH }=60 ^ { \circ } $ (do $ \widehat { SCH }<90 ^ { \circ } $).
Trong $ \Delta SCH $ vuông tại $ H $ có: $ SH=CH\cdot \tan60 ^ { ° } =\frac { a\sqrt { 7 } } { 3 }\cdot \sqrt { 3 }=\frac { a\sqrt { 21 } } { 3 } $.
Dựng hình bình hành $ ACBD $. Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BC\parallel AD \\ AD\subset(SAD) \\ \end{array} \Rightarrow BC\parallel(SAD). \end{array} \right. \\ { \rm{ } }{ \rm{ N } }{ \rm{ ê } }{ \rm{ n } }{ \rm{ } }d(BC,SA)=d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))=\frac { 3 } { 2 }d(H,(SAD)){ \rm{ . } }{ \rm{ ( } }{ \rm{ 1 } }{ \rm{ ) } }{ \rm{ } } $
Gọi $ E $ là trung điểm của $ AD\Rightarrow BE\perp AD $.
Từ $ H $ kẻ $ HI\parallel BE(I\in AD)\Rightarrow HI\perp AD $.
Vẽ $ HK\perp SI(K\in SI) $.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AD\perp HI \\ AD\perp SH \\ \end{array} \Rightarrow AD\perp(SHI)\Rightarrow AD\perp HK \end{array} \right. $.
Suy ra $ HK\perp(SAD) $ hay $ d(H,(SAD))=HK $.(2)
Trong $ \Delta AIH $ vuông tại $ I $, ta có: $ HI=HA\cdot \sin60 ^ { ° } =\frac { 2a } { 3 }\cdot \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt { 3 } } { 3 } $.
Trong $ \Delta SIH $ vuông tại $ H $, ta có:
$ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 21a ^ { 2 } }+\frac { 9 } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 24 } { 7a ^ { 2 } } $
$ \Rightarrow HK=\frac { a\sqrt { 42 } } { 12 } $.(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: $ d(BC,SA)=\frac { a\sqrt { 42 } } { 8 } $.